generaliser formule de probabiliter

bonjour a tous bonjour a @Noemi @noemie @mtschoon

Une urne contient N = LOO boules dont N8 = 75 boules
blanches et NR = 25 boules rouges. On fait n = 50 tirages avec remise dans l' urne.

Soit l'événement Ek « on tire k boules rouges » avec
$\leq k \leq n$ . De façon générale, montrez que la probabilité Pr (Ed) est égale à :
Pr (Ek) = $C_n^k$ $(NRN)k(1−NRN)n−k(\frac{N_R}{N})^k (1- \frac{N_R}{N} )^{n-k}$
Montrez que la probabilité de tirer k
rouges est égale à 9,85 %.

personnellement pour le 2 c'est tres facile il suffit de remplacer dans la formule.

consernant la question une je bloque un peu

@loicstephan Bonjour,

La première question correspond au cours.
$C_n^k$ correspond au nombre de possibilité de choisir $k$ boules parmi $n$

$NRN\dfrac{N_R}{N}$ correspond à la probabilité de tirer une boule rouge parmi $N$ boules.

$1−NRN1-\dfrac{N_R}{N}$ correspond à la probabilité de tirer une boule blanche parmi $N$ boules.

@Noemi
oui mais l'objectif consiste a demontrer ce resultat
deja si on decide de raisonner avec les cas favorable
supposons on tire 2 boules et l'on s'intresse a obtenir une boules rouge alors
combinaison de 1 dans 2 represente nos possibilite d'avoir une boule rouge mais comme on tire 2 boule il faut egalement prendre 1 dans les boules restantes que l'on rapport aux possibilite de l'univers dans ce cas de figure on remarque aue les possibilite sint multipliees par la probabilite y associée

@Noemi ondirait la fonction de masse de la loi binomiale

@loicstephan

Oui cela est identique à une loi binomiale puisqu'il y que deux cas possibles, soit une boule rouge, soit une boule blanche.

on pourrait a cet effet faire le cas un , deux et generaliser pour k cas !

@loicstephan

Oui, tu peux le présenter ainsi.

Bonjour,

Effectivement, il s'agit exactement de la loi binimiale $(B, n, p)$

Il y a n épreuves répétées indépendantes.
A chaque épreuve, la probabilité d'un succès est $p=NRNp=\dfrac{N_R}{N}$ et la probabilité d'un échec est $NBN=1−NRN=1−p\dfrac{N_B}{N}=1-\dfrac{N_R}{N}=1-p$

@loicstephan, si tu n'as pas d'idée pour la démonstration, tu peux éventuellement consulter la vidéo ici :
https://www.youtube.com/watch?v=R45L_2gS8lU

L'explication est basée su l'utilisation d'un arbre probabiliste.
Evidemment, pour cela, il faut se fixer une valeur de n, pas trop grande pour que ça soit clair.
Dans la vidéo, il est pris $n = 3$ Tu peux prendre $n$ =4 ou $5$ si tu le souhaites.

Ensuite, bien sûr, il faut généraliser l'explication sur $n$ épreuves (sans préciser de valeur pour $n$ ).
Tout chemin de l'arbre comportant k succés (de probabilité p) comporte $(n - k)$ échecs de probabilité $(1 - p)$
Ainsi la probabilité de $k$ succès (relative à ce chemin) est égale à $p^k(1-p)^{n-k}$

Le nombre de chemins menant à $k$ succés est le nombre de combinaisons de $k$ éléments pris parmi $n$ , c'est à dire $(nk)\begin{pmatrix}n\cr k\end{pmatrix}$

D'où la réponse $(nk)pk(1−p)n−k\begin{pmatrix}n\cr k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Bonne démonstration (celle là ou une autre).

merci beaucoup pour vos explications propres!

De rien @loicstephan et bon travail surtout.