CONTINUITÉ expliquez la solution si'il vous plaît

BONSOIR À TOUS
Voici le problème : Soit
f:R→R
la fonction définie par
f(x )= 1 si x∈Q , x=0 si x∉Q.
Montrer que f est discontinue en tout point de R.
ET VOILÀ LA SOLUTION :
:Soit a ∈ R. Il existe une suite (un) de nombres rationnels et
une suite (vn) de nombres irrationnels tels que un → a et vn → a. On a alors
f(un) = 1 → 1 et f(vn) = 0 → 0. Ainsi, f est discontinue en a.
J'AI PAS BIEN COMPRIS LA SOLUTION J'ESPÈRE QUE VOUS ME POSER UNE BONNE EXPLICATION
MERCI D'AVANCE

@Bnhadouch-Yassir , bonjour.

Je pense que ce que tu indiques est un raisonnement par l'absurde

On suppose que f est continue en a , c'est à dire que $lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ et on démontre que c'est impossible.

J'explicite un peu.
Soit f continue en a : $lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
Que x soit rationnel ou irrationnel, on aura toujours : $lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
Donc ,
en particulier , pour $x=U_n$ (rationnel) $lim⁡n→+∞f(Un)=f(a)\displaystyle \lim_{n\to +\infty}f(U_n)=f(a)$
en particulier , pour $x=V_n$ (irrationnel) $lim⁡n→+∞f(Vn)=f(a)\displaystyle \lim_{n\to +\infty}f(V_n)=f(a)$

Or, comme $U_n)$ est une suite de rationnels, $f(U_n)=1$ , donc $lim⁡Un→+∞f(Un)=f(a)=1\displaystyle \lim_{U_n\to +\infty}f(U_n)=\boxed{f(a)=1}$
Or, comme $V_n)$ est une suite d'irrationnels, $f(V_n)=0$ , donc $lim⁡n→+∞f(Vn)=f(a)=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}f(V_n)=\boxed{f(a)=0}$

Contradiction car $1≠01\ne 0$ , donc l'hypothèse "f continue en a" est fausse donc f n'est pas continue en a.

@mtschoon tout est clair maintenant merci

De rien @Bnhadouch-Yassir .

Ravie que ce soit maintenant clair pour toi.