Raisonnement par récurrence

[dada691]

Bonjour, je bloque sur toute la question N°3. Si vous pouviez m’aider. Cordialement

Merci d'avance pour votre aide:

3. Soit f la fonction définie sur J=[0; +∞[ 𝑓(𝑥) = 3-1/x+1.

   a. Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur J.

   b. On considère la suite (U𝑛)définie pour tout entier naturel n par Un+1= f(U𝑛) et Uo=5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que U𝑛 ≥ 0 et déterminer le sens de variation de la suite (U𝑛)

   c. Démontrer que la suite (U𝑛) converge

   d. déterminer la limite L de cette suite .

[mtschoon]

@dada691 , bonjour,

Piste pour démarrer,

f est bien définie sur $[0,+\infty [$ (sur $R$, la "valeur interdite" est $-1)$

Tu peux écrire éventuellement $f^{\prime }(x)=\frac{3x+2}{x+1}$

f est dérivable sur $J=[0,+\infty [$

Avec les dérivées usuelles (dérivée d'un quotient), après calculs, tu dois trouver :
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}$

Donc, $f^{\prime }(x)>0$

donc f strictement croissante sur J.

Cela te permettra de faire la suite.

[mtschoon]

@dada691 , je regarde un peu la suite,

Piste pour démontrer que $U_n\ge 0$ (Récurrence).

Initialisation $U_0=5$ donc $U_0\ge 0$

Transmission (on dit aussi hérédité)

Hypothèse à un ordre n de N : $U_n\ge 0$

Conclusion à démontrer : $U_{n+1}\ge 0$

DEMONSTRATION :
$U_{n+1}=f(U_n)=\frac{3U_n+2}{U_n+1}$

Comme par hypothèse de la récurrence $U_n\ge 0$, tu peux justifier facilement que $U_{n+1}\ge 0$

CQFD

Essaie de poursuivre et reposte si tu n'y arrives pas.