PROBABILITE CONDITIONELLE ET SUITE

On considère un individu qui se rend régulièrement au
cinéma. Soit A; l'événement « l' individu se rend au cinéma le jour i » avec $Pr (A _1) = p _1$ donné. On suppose
que si un jour cet individu se rend au cinéma, le jour suivant il a une probabilité de 1/8 de s'y rendre aussi. Si
l' individu ne se rend pas au cinéma le jour i, il y a une
probabilité de 3/8 qu 'il s'y rende le jour suivant.

Exprimer $Pr(A_{n+1})$ en fonction de $Pr(A_n$ ).
Quelle est la probabilité de l'événement « l' individu
se rend au cinéma le jour i »?

personellement la question 1 en m'inspirant d'un autre exerci je trouve
$Pn+1=−28Pn+38P_{n+1}= \frac{-2}{8}P_n+\frac{3}{8}$

je bloque a la question 2
deja la une est elle juste?
dans le cas ou c'es positif je me concentre sur la 2 en attendant vos reactions

@loicstephan Bonjour (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Le résultat de la première question est correct.

@Noemi a dit dans PROBABILITE CONDITIONELLE ET SUITE :

Le résultat de la première question est correct.

desole Madame Noemi j'ai cru avoir ecri un bonjour

pour la 2 j'ai fait $∏P(A1)i=1nP(Ai)\prod_{P(A_1)i=1}^n P(A_i)$ or $P(A_1)$ est inconnue mais je peux ecrire
$P(Ai)=P(A1)×P(A2)×...×P(An)=P(A1)×P(An−2)P(A_i) = P(A_1) \times P(A_2)\times ... \times P(A_n)= P(A_1) \times P(A_{n-2})$ e remplacant $P(A_{n-2})$ par sa valeur j'obtien une expression fonction de Pn je sais pas si je suis sur la voie

pour la 2 j'ai fait $∏i=1nP(Ai)\prod_{i=1}^n P(A_i)$ or $P(A_1)$ est inconnue mais je peux ecrire
$P(Ai)=P(A1)×P(A2)×...×P(An)=P(A1)×P(An−2)P(A_i) = P(A_1) \times P(A_2)\times ... \times P(A_n)= P(A_1) \times P(A_{n-2})$ e remplacant $P(A_{n-2})$ par sa valeur j'obtiens une expression fonction de $P_n$ je sais pas si je suis sur la voie

@loicstephan

Pour la question 2, il faut introduire une suite $U_n)$ géométrique et chercher ensuite l'expression de $P_n$ en fonction de $n$ .
Un exemple de suite $Un=Pn−310U_n=P_n-\dfrac{3}{10}$ à vérifier.

Bonjour,

Une remarque : je trouve les notations de cet énoncé "bizarres"...Il y a des i, des n...
@loicstephan , je sais bien que tu n'y es pour rien car j'ai vu cet énoncé en ligne écrit exactement comme ça.

@loicstephan , ta démarche me laisse perplexe !

Tu as donc :
$Pn+1=−28Pn+38P_{n+1}=-\dfrac{2}{8}P_n+\dfrac{3}{8}$ Tu peux bien sûr remplacer $−28-\dfrac{2}{8}$ par $−14-\dfrac{1}{4}$

Si c'était un exercice de Terminale, la démarche serait écrite.
En Sup, il faut la trouver. Je te mets la démarche classique.

a) Tu démontres que la suite $P_n)$ est convergente vers une valeur $L$ que tu détermines (tu as fait ce genre de travail dans un exercice récent)

b) Tu Poses $Q_n=P_n-L$
Tu démontres que $Q_n)$ est géométrique

c) Tu en déduis l'expression de $Q_n$ puis de $P_n$

Donne tes résultats si tu le souhaites.

@Noemi , bonjour,

J'ai commencé à taper avant que tu postes ton indication...

@loicstephan a ainsi deux indications...

Bonjour,

@loicstephan , avec les indications données, j'espère que tu as terminé la question 2.

Je résume pour vérification éventuelle .

a) tu as dû trouver $L=310L=\dfrac{3}{10}$ (méthode déja vue)
b) tu peux écrire :
${Pn+1=−14Pn+38L=−14L+38\begin{cases}P_{n+1}=-\dfrac{1}{4}P_n+\dfrac{3}{8}\cr L=-\dfrac{1}{4}L+\dfrac{3}{8} \end{cases}$
En retranchant membre à membre: $Pn+1−L=−14(Pn−L)P_{n+1}-L=-\dfrac{1}{4}(P_n-L)$
d'où
$Qn+1=−14QnQ_{n+1}=-\dfrac{1}{4}Q_n$ suite géométrique de raison $−14-\dfrac{1}{4}$

c) $Qn=Q1(−14)n−1Q_n=Q_1\biggr(-\dfrac{1}{4}\biggr)^{n-1}$
d'où $Pn=Qn+L=Q1(−14)n−1+LP_n =Q_n+L=\boxed{Q_1\biggr(-\dfrac{1}{4}\biggr)^{n-1}+L}$

Il te reste à remplacer $Q_1$ et $L$ par leurs valeurs :
$Q1=P1−L=p1−310Q_1=P_1-L=p_1-\dfrac{3}{10}$ et $L=310L=\dfrac{3}{10}$

Et tu donnes l'expression finale de $P_n$

Bon travail.

bonjour
j'ai pu faire les demostrations meme si il y a une ambigute que j'ai pose dans l'autre sujet

la probabilite cherchee est donc :

$Pn=0.25[P10.25+(−14)n−1−1]P_n= 0.25[\frac{P_1}{0.25}+(- \frac{1}{4})^{n-1}-1]$
merci

@loicstephan , bonjour,

Je ne sais pas trop de quelle ambiguité tu parles...

Dans l'autre sujet, j'ai cru comprendre que tu te posais une question pour retrancher membre à membre deux égalités.

Si c'est de cela dont tu parles, c'est tout simple :

Lorsqu'il y a :
${A=B+CD=E+C\begin {cases}A=B+C\cr D=E+C\end{cases}$

Pour retrancher membre à membre, tu retranches "visuellement en colonnes verticales" sans rien écrire.

Ici,
à gauche du =, ça fait A-D
à droite du =, ça fait B-E (vu que Cet C s'annulent )

Et tu écris simplement : A-D=B-E

@loicstephan , l'expression que tu donnes pour $P_n$ est à revoir, mais l'essentiel est que tu aies compris la démarche générale, bien sûr.

j'ai un autre exercice qui me casse la tete je cree un nouveau sujet rapidement!