Étude d’une fonction auxiliaire

[Vanessa_]

Bonjour, voici l’énoncer :
Soit g la fonction définie sur [0;+l’infinie [ par : g(x) : x+ 2 - e^x

1. Étudier le sens de variation de la fonction g sur [ 0; +l’infinie[
2. On admet que l’équation g(x)=0 admet une unique solution alpha sur [0;+l’infinie[
3. En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x

Voilà, je ne comprend pas comment faire la question 2
Pour la question 1 j’ai trouver g’(x)= 1-e^x et
1-e^x >0
X > e^-1

[mtschoon]

@Vanessa_ , bonjour,

A la question 2, tu n'a rien à faire.
L'énoncé te dit qu'il existe une valeur $\alpha$ positive solution unique de g(x)=0, donc $g(\alpha )=0$

C'est la question 1) qu'il faut avoir fait correctement
$g^{\prime }(x)=1-e^x$

$g^{\prime }(x)=0$ <=> $1-e^x=0$ <=> $-e^x=-1$ <=> $e^x=1$ <=>$x=0$
$g^{\prime }(x)<0$ <=> $1-e^x<0$ <=> $-e^x<-1$ <=> $e^x>1$ <=>$x>0$

Donc, pour $x$ de $[0,+\infty [$ , $g^{\prime }(x)\le 0$ donc g décroissante.

Eventuellement, tu peux faire le tableau de variation de g pour mieux comprendre.

Conclusion (question 3) :
$x<\alpha$ , $g(x)>0$
$x=\alpha$ , $g(x)=0$
$x>\alpha$ , $g(x)<0$

Revois tout ça de près.

[Vanessa_]

J’avais oublier la fin de la 2 c’est pour ça que je comprenais pas

2. on admet que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution alpha sur [0;+l’infinie [. Déterminer un encadrement de alpha a 10^-3 près.

Désolé

[mtschoon]

@Vanessa_

Pour les valeurs approchées de $\alpha$, tu utilises ta calculette (fonction table) ou un tableur

Ma calculette me donne :
Pour $x=1.147$, $g(x)\approx -0.0017$
Pour $x=1.146$, $g(x)\approx +0.00041$
Tu sais que pour $x=\alpha$, $g(x)=0$

Tu tires la conclusion.

[mtschoon]

@Vanessa_ ,

Tu peux conclure : $1.046<\alpha <1.147$
$1.146$ est la valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près par défaut.
$1.147$ est la valeur approchée de $\alpha$ à $10{}^{-}3$ près par excès.