Conjecturer une suite, dm spé maths terminale

On considere la suite (Un) définie sur N par U0=1 et, pour tout n>=0, Un+1=Un+2n+3.
1)Demontrer que, pour tou n€N, Un>n**2
2) Conjecturer une expression de Un en fonction de n puis demontrer cette conjecture.

Jai reussi à faire la premiere question mais je n’arrive pas du tout à la deuxieme, je ne sais pas du tout comment faire. Si quelqu’un aurait la gentillesse de m’aider svp.

@MoiCestTom
Desolé j’ai oublie de dire bonjour haha, donc je le dis ici, bonjour / bonsoir

@MoiCestTom
Jai normalement reussi à trouver grace à une video youtube, merci quand meme.

Bonjour,

On calcule quelques termes de U :
U(0) = 1
U(1) = 1 + 20 + 3 = 4
U(2) = 4 + 21 + 3 = 9
U(3) = 9 + 22 + 3 = 16
U(4) = 16 + 23 + 3 = 25

Et on regardant ces résultats, on conjecture que U(n) = (n+1)²

... Il faut maintenant démontrer que cette conjecture est vraie.

Par récurrence :

Supposons que U(n) = (n+1)² est vraie pour une certaine valeur k de n ...
On a alors U(k) = (k+1)²

U(k+1) = U(k) + 2k + 3
U(k+1) = (k+1)² + 2k + 3
... et on peut montrer que c'est équivalent à : U(k+1) = ((k+1)+1)²

Donc si U(n) = (n+1)² est vraie pour une certaine valeur k de n, U(n) = (n+1)² est vraie aussi pour n = k+1. (1)

Comme U(0) = 1, U(n) = (n+1)² est vraie pour n = 1 ... et par (1), on conclut que U(n) = (n+1)² est vraie pour tout n de N

@MoiCestTom , bonjour,

Si c'est la conjecture de $U_n$ qui te poser problème

Tu trouves , en calculant les premiers termes :
$U_0=1$
$U_1=4=2^2$
$U_2=9=3^2$
$U_3=16=4^2$

On peut conjecturer que $U_n=(n+1)^2$

Reposte si la démonstration te pose problème.
(Une petite récurrence va très bien)

@Black-Jack , bonjour/bonsoir.

Nos réponses se sont croisées...

Bonsoir,