Continuité et dérivabilité d'une fonction

Bonjour,
f est une fonction de variables réels définit par f(x)=x^2 sin(1/x) si x différent de 0, et f(0)=0
laquelle des propositions suivantes est vrai: f'(0)=0, f' continue en 0, f' n'est pas continue en 0, f' est croissante

@Mohssine , bonjour,

Si tu utilises la définition de dérivée en 0

Après simplification,
$lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0xsin(1x)=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x\to 0}xsin(\dfrac{1}{x})=0$

donc $f^{'} (0) = 0$

@mtschoon f'(0)=1 ; erreur dans l enoncé c pa 0 c 1

@Mohssine ,

Avec ta modification d'énoncé, la proposition $f^{'} (0) = 1$ est fausse, vu que $f (^{'} 0) = 0$

Le calcul de dérivée en 0 te sert pour la seconde proposition.

En 0, la fonction f est dérivable ( sa dérivée vaut 0 ).

Par théorème, une fonction dérivable en $x_0$ est continue en $x_0$ , donc, vu que f est dérivable en 0, tu peux conclure que f est continue en 0.

je te remercie énormément

De rien @Mohssine ,

Je viens de m'apercevoir qu'il y a quelque chose de bizarre dans tes questions (que je n'avais pas regardées avec insistance).

Tu as écrit dans les propositions : "f' continue en 0, f' n'est pas continue en 0, f' est croissante"

Je t'ai répondu à "f continue en 0" , car logiquement j'ai pensé qu'il s'agissait de f.

Vérifie tout de même.

Bonjour,

Je trouve que :
a) f '(0) = 0

b) f ' n'est pas continue en 0
car pour x diff de 0, on a : f'(x) = 2x.sin(1/x) - cos(1/x) qui n'est pas défini pour x --> 0 (à cause du cos(1/x))

Bonjour,

Ce serait bien que @Mohssine indique si c'est de f' ou de f dont il veut étudier la continuité en 0...

Je pense qu'il a écrit f' au lieu de f (la question serait, il me semble, plus pertinante) mais je n'ai pas de certitude...

Je l'ai vu connecté, il a dû consulter mon dernier message, mais il n'a pas rien répondu...

Alors...

@mtschoon

Bonjour,

Je ne pense pas qu'il y a une erreur d'énoncé, c'est bien f ' dans l'énoncé.

Je dis cela car on retrouve cet énoncé (sans les corrections) un peu partout sur le net, dont certains sites datent assez loin dans le passé ... et tous ces énoncés sont avec le f ' et pas avec f.

@Black-Jack ,

Bonjour,

Pourquoi pas...je n'ai pas cherché sur le net, mais j'aurais souhaité de @Mohssine le dise.

Il n'y a pas de problème pour lui vu qu'il a les deux versions.
C'est l'essentiel.

Bonne journée !

Bonjour, c'est f' , non pas f

Bonjour,

OK.