Limite d'intégrale, encadrement
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Clara2 dernière édition par
Bonsoir,
Je suis bloquée sur un calcul de limite d'intégrale. Je dois montrer, à l'aide d'encadrements bien choisis que :
limR→∞∫0π\lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi}limR→∞∫0π e−Rsin(t)e^{-Rsin(t)}e−Rsin(t)cos(Rcos(t))dt=0cos(Rcos(t))dt=0cos(Rcos(t))dt=0
et que :
limr→0+∫0π\lim_{r\to0+} \displaystyle\int_{0}^{\pi}limr→0+∫0π e−rsin(t)e^{-rsin(t)}e−rsin(t)cos(rcos(t))dt=πcos(rcos(t))dt={\pi}cos(rcos(t))dt=π
Malheureusement, je ne vois vraiment pas quel encadrement choisir : je suis toujours bloquée par une intégration par partie assez complexe.
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@Clara2 Bonjour,
Dans quel domaine varie le sinus et le cosinus ?
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Clara2 dernière édition par
@Noemi Bonjour,
Ils varient sur [0;2π{\pi}π] ?
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Pour tout nombre réel xxx,
sinxsinxsinx et cosxcosxcosx sont compris entre -1 et 1.
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Clara2 dernière édition par
Je crois avoir compris : je peux donc prendre -1 et 1 comme encadrement pour déterminer la limite de ces deux expressions.
Merci beaucoup !
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Indique tes calculs si tu souhaites une vérification.
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Attention, les intégrales données font varier t dans [0 ; Pi] (bornes d'intégration)
et avec t dans [0; Pi], cos(t) varie dans [-1 ; 1] mais sin(t) varie dans [0 ; 1]
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Clara2 dernière édition par
J'ai donc ceci :
cos(t)≤1cos(t) \leq 1cos(t)≤1 et sin(t)≤1sin(t) \leq 1sin(t)≤1.
=> limR→∞∫0πe−Rsin(t)cos(Rcos(t))dt≤limR→∞∫0πe−Rcos(R)dt\displaystyle \lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-Rsin(t)}cos(Rcos(t))dt \leq \displaystyle \lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-R}cos(R)dtR→∞lim∫0πe−Rsin(t)cos(Rcos(t))dt≤R→∞lim∫0πe−Rcos(R)dt=> limR→∞∫0πe−Rsin(t)cos(Rcos(t))dt≤limR→∞πe−Rcos(R)\displaystyle \lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-Rsin(t)}cos(Rcos(t))dt \leq \displaystyle \lim_{R\to\infty} {\pi}e^{-R}cos(R)R→∞lim∫0πe−Rsin(t)cos(Rcos(t))dt≤R→∞limπe−Rcos(R)
=> limR→∞∫0πe−Rsin(t)cos(Rcos(t))dt≤0\displaystyle \lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-Rsin(t)}cos(Rcos(t))dt \leq 0R→∞lim∫0πe−Rsin(t)cos(Rcos(t))dt≤0
D'après le théorème de comparaison, on a donc :
=> limR→∞∫0πe−Rsin(t)cos(Rcos(t))dt=0\displaystyle \lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-Rsin(t)}cos(Rcos(t))dt = 0R→∞lim∫0πe−Rsin(t)cos(Rcos(t))dt=0
Et pour la deuxième limite :
limr→0+∫0πe−rsin(t)cos(rcos(t))dt≤limr→0+∫0πe−rcos(r)dt\displaystyle \lim_{r\to 0+} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-rsin(t)}cos(rcos(t)) dt \leq \displaystyle \lim_{r\to 0+} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-r}cos(r)dtr→0+lim∫0πe−rsin(t)cos(rcos(t))dt≤r→0+lim∫0πe−rcos(r)dt
=>limr→0+∫0πe−rsin(t)cos(rcos(t))dt≤limr→0+πe−rcos(r)\displaystyle \lim_{r\to 0+} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-rsin(t)}cos(rcos(t)) dt \leq \displaystyle \lim_{r\to 0+} {\pi}e^{-r}cos(r)r→0+lim∫0πe−rsin(t)cos(rcos(t))dt≤r→0+limπe−rcos(r)
=>limr→0+∫0πe−rsin(t)cos(rcos(t))dt≤π\displaystyle \lim_{r\to 0+} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-rsin(t)}cos(rcos(t)) dt \leq {\pi}r→0+lim∫0πe−rsin(t)cos(rcos(t))dt≤π
=> limr→0+∫0πe−rsin(t)cos(rcos(t))dt=π\displaystyle \lim_{r\to 0+} \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-rsin(t)}cos(rcos(t)) dt = {\pi}r→0+lim∫0πe−rsin(t)cos(rcos(t))dt=π
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Les calculs sont corrects.
La limite étant finie, tu devrais utiliser le théorème des gendarmes en étudiant le cas ≥\geq≥.
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Clara2 dernière édition par
D'accord, mercii !
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Je ne suis pas d'accord.
Tu écris sin(t) <= 1
Qu'est-ce qui te permet alors de passer (pour R --> +oo) de e^(-R.sin(t)) à e^(-R) ?
Et si sin(t) était < 0, il serait bien <= 1 et cependant tu aboutirais alors à e^R ... qui serait infini et pas nul.
C'est la raison de mon message précédent.
