3. Dm de math rudiment de la logique

Dm de math rudiment de la logique

  • A

    Bonjour j'aurais encore besoin de vous pour une question de coefficient binomiaux. J'ai déjà répondu à la question suivante:

    • En utilisant la formule du binôme de Newton, donner le coefficient de xnx^nxn dans le polynôme (1+x)2n(1 + x)^{2n}(1+x)2n.
      et j'ai répondu: (1+x)2n(1+x)^{2n}(1+x)2n = ∑k=02n\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}k=0∑2n​(2n/k)x2n−kx^{2n-k}x2n−k.1k1^k1k =∑k=02n\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}k=0∑2n​(2n/k)xkx^kxk.12n−k1^{2n-k}12n−k =∑k=02n\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}k=0∑2n​(2n/k)xkx^kxk

    Et maintenant la question est :

    • Calculer ce même coefficient en écrivant (1+x)2n(1 + x)^{2n}(1+x)2n = (1+x)n(1 + x)^n(1+x)n · (1+x)n(1 + x)^n(1+x)n et en appliquant la formule du binôme à (1+x)n(1 + x)^n(1+x)n.

    Pourriez vous me donner des indications s'il vous plait?
    Merci d'avance.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Assya Bonjour,

    Bizarre la réponse avec une somme.
    (x+1)2n=∑k=02n(2nk)xk(x+1)^{2n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}\dbinom{2n}{k}x^k(x+1)2n=k=0∑2n​(k2n​)xk
    et le coefficient de xnx^nxn correspond à k=nk=nk=n, soit (2nn)\dbinom{2n}{n}(n2n​)
    Pour la deuxième question,
    Ecris la formule du binôme pour (1+x)n(1+x)^n(1+x)n.
    Tu écris ensuite pour le produit, la somme des produits des coefficients qui correspondent à xnx^nxn.

    Indique tes calculs si tu souhaites une vérification.

  • A

    @Noemi merci pour votre réponse, voici ce que j'ai écrit, j'aimerais bien une vérification de votre part si cela ne vous dérange:
    (1+x)n(1+x)^n(1+x)n = ∑k=0n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k=0∑n​(n/k)xn−kx^{n-k}xn−k.1k1^k1k =∑k=0n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k=0∑n​(n/k)xkx^kxk.1n−k1^{n-k}1n−k =∑k=0n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k=0∑n​(n/k)xkx^kxk

    (1+x)n(1+x)^n(1+x)n.(1+x)n(1+x)^n(1+x)n =∑k=0n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k=0∑n​(n/k)xkx^kxk.∑k=0n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k=0∑n​(n/k)xkx^kxk =∑k=0n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k=0∑n​(n/k)2(n/k)^2(n/k)2x2kx^{2k}x2k

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Assya

    A partir de
    (x+1)n=∑k=0n(nk)xk(x+1)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^k(x+1)n=k=0∑n​(kn​)xk
    puis
    (x+1)n×(x+1)n=(∑k=0n(nk)xk)2(x+1)^{n}\times (x+1)^n=(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^k)^2(x+1)n×(x+1)n=(k=0∑n​(kn​)xk)2
    tu dois déterminer le coefficient de xnx^nxn,
    Si le terme du premier facteur est en xkx^kxk, le terme du deuxième facteur doit être en xn−kx^{n-k}xn−k
    donc le coefficient sera :
    ∑k=0n(nk)(nn−k)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{n-k}k=0∑n​(kn​)(n−kn​) qui peut s'écrire :
    ∑k=0n(nk)(nk)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{k}k=0∑n​(kn​)(kn​)= ∑k=0n(nk)2\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^2k=0∑n​(kn​)2

    A 1 réponse
  • A

    @Noemi merci beaucoup!

Se connecter pour répondre