Continuté et bijection

[souma_v]

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[mtschoon]

@souma_v, Piste possible pour le raisonnement par l'absurde de la 2) (à justifier/détailler avec soin)

Tu supposes de $f(x)\ne g(x)$ pour tout x de [0,1] et il faut trouver une contradiction.

Soit $h(x)=f(x)-g(x)$

$h(x)\ne 0$ pour tout x de [0,1] vu que $f(x)\ne g(x)$

Vu que h est continue (différence de 2 fonctions continues) et que $h(x)\ne 0$ pour tout x de [0,1] , nécessairement h(x) est de signe constant ( ou strictement positif ou strictement négatif)

Vu que f est définie et continue de [0.1] vers [0,1], il existe $x_1$ et $x_2$ distincts de [0,1] tel que $f(x_1)=0$ et $f(x_2)=1$

$h(x_1)=0-g(x_1)$ tu justifies que $h(x_1)<0$
( $g(x1)$ ne peut pas valoir 0 vu l'hypothèse $f(x)\ne g(x)$ )

$h(x_2)=1-g(x_2)$ tu justifies que $h(x_2)>0$
( $g(x_2)$ ne peut pas valoir 1 vu l'hypothèse $f(x)\ne g(x)$ )

D'où contradiction avec l'hypothèse "h de signe constant".