Equation avec des racines carrées

Bonsoir ...
Quelqu'un peut m'aider slv
Merci d'avance.
Résoudre dans N² : racine de(x-1) + racine de(y-2)= racine de(5)

Bonjour,

Il y a déjà des solutions triviales.

Par exemple, les couples (x,y) : (1 , 7) ou (6 , 2)

Et on peut aussi dire que x ne peut prendre que les valeurs entières dans [1 ; 6] car ...

Et on peut aussi dire que y ne peut prendre que les valeurs entières dans [2 ; 7] car ...

Cela devrait permettre facilement de voir si il y a ou non des solutions autres que les 2 couples indiqués.

@Black-Jack
J'ai pas compris !!

Bonjour,

Solutions triviales signifie solutions évidentes à trouver.

Un simple regard sur l'équation montre que x = 1 et y = 7 convient
et que x = 6 et y = 2 convient aussi

Même si on ne rend pas compte au simple regard, on peut quand même réfléchir sur l'équation.

On a forcément racine de(x-1) >= 0 et aussi racine de(y-2) >= 0 car ...

donc comme leur somme = racine(5), cela signifie que 0 <= racine de(x-1) <= racine(5) donc que 1 <= x <= 6 (avec x entier)

et cela signifie aussi que 0 <= racine de(y-2) <= racine(5) donc que 2 <= y <= 7 (avec y entier)

Si x = 1 -->
racine de(x-1) + racine de(y-2)= racine de(5)
racine de(1-1) + racine de(y-2)= racine de(5)
racine de(y-2)= racine de(5)
y-2 = 5
y = 7 et donc le couple (x,y) = (1 , 5) est solution.

Si x = 2 -->
racine de(x-1) + racine de(y-2)= racine de(5)
racine de(2-1) + racine de(y-2)= racine de(5)
1 + racine de(y-2)= racine de(5)
racine de(y-2)= racine de(5) - 1
(y-2) = (racine de(5) - 1)²
y-2 = 5 + 2 - 2racine(5)
y = 9 - 2racine(5) ... qui n'est pas entier et donc ne convient pas.

Il faut encore calculer avec x = 3 et ensuite avec x = 4 et ensuite x = 5 et ensuite avec x = 6
pour voir si on arrive dans l'un ou plusieurs de ces cas à y entier.
... on trouvera alors que avec x = 6, cela donnera y = 2

on aura alors trouvé tous les couples (x,y) solutions qui sont (1 , 5) et (6 , 2)

Il existe évidemment d'autres méthodes de résolution, par exemple :

Autre méthode :

Même début que autre résolution qui aboutit à la condition : 2 <= y <= 7

racine de(x-1) + racine de(y-2)= racine de(5)

racine de(x-1) = racine de(5) - racine(y-2)
(racine de(x-1))² = (racine de(5) - racine(y-2))²
x-1 = 5 + (y-2) - 2*racine(5.(y-2))
x = 4 + y - racine(5.(y-2))
Comme x doit être entier il faut que racine(5.(y-2)) soit entier, donc que (5.(y-2)) soit un carré parfait (en se rappelant que 2 <= y <= 7)

(5.(y-2)) est un carré parfait si y = 2 ou bien si (y-2) = 5 --> y = 7 (pas d'autres possibilités à cause de 2 <= y <= 7

--> y = 2 ou y = 7
et on calcule les x correspondants par x = 4 + y - racine(5.(y-2))

@Black-Jack
Merco bq🥰