Equivalence d'équations


  • H

    1. montrer que : Montrer que : (∀ a≤0)(∀ b≤0) : (a+b=0 <=> (a=0 et b=0)
    2. montrer que : Montrer que :
      (∀ x∊ℝ)(cos³x+sin³x=1)<=> [(sinx=1 et cosx=0) ou (cosx=1 et sinx=0)]

    merci


  • mtschoon

    @holako , bonjour,

    Manque de "salutation" à ne pas oublier une prochaine fois.

    Je pense que la 1) est assez évidente. Je te laisse faire.
    J'imagine qu'elle sert à la 2)

    Une piste pour la 2)
    cos2x+sin2x=1cos^2x+sin^2x=1cos2x+sin2x=1 donc :
    cos3x+sin3x=sin2x+cos2xcos^3x+sin^3x=sin^2x+cos^2xcos3x+sin3x=sin2x+cos2x

    En transposant :
    cos3x+sin3x−sin2x−cos2x=0cos^3x+sin^3x-sin^2x-cos^2x=0cos3x+sin3xsin2xcos2x=0

    En factorisant :
    cos2x(cosx−1)+sin2x(sinx−1)=0cos^2x(cosx-1)+sin^2x(sinx-1)=0cos2x(cosx1)+sin2x(sinx1)=0

    Tu analyses les signes de chaque terme de cette somme.

    Pour tout x réel :
    cos2x≥0cos^2x\ge 0cos2x0 et cosx−1≤0cosx-1\le 0cosx10 donc cos2x(cosx−1)≤0cos^2x(cosx-1)\le 0cos2x(cosx1)0
    sin2x≥0sin^2x\ge 0sin2x0 et sinx−1≤0sinx-1\le 0sinx10 donc sin2x(sinx−1)≤0sin^2x(sinx-1)\le 0sin2x(sinx1)0

    Tu appliques ensuite la propriété vue à la question 1) pour tirer les conclusions souhaitées.


  • mtschoon

    Si tu as des problèmes pour justifier la question 1), tu peux faire 4 cas disjoints :
    a<0a\lt 0a<0 et b<0b\lt 0b<0
    a=0a=0a=0 et b<0b\lt 0b<0
    a<0a\lt 0a<0 et b=0b=0b=0
    a=0a=0a=0 et b=0b=0b=0

    et tirer la conclusion.


Se connecter pour répondre