Convergence d'une Somme de termes.


  • Wil Fried

    Aidez moi svp.
    Soit la suite (Un(α)U_n(\alpha)Un(α)) définie pour tout α>0\alpha\gt0α>0 : Un(α)=∑k=1n1kαU_n(\alpha)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{\alpha}}Un(α)=k=1nkα1

    1. Étudier la convergence de la suite (Un(α)U_n(\alpha)Un(α))
    2. Trouver un encadrement de la limite de (Un(αU_n(\alphaUn(α)) quand elle existe.
    3. Interpréter géographiquement (Un(α)U_n(\alpha)Un(α)).

  • mtschoon

    @Wil-Fried , bonsoir,

    Je suis surprise de cet exercice en Terminale .
    La suite dont tu parles est la "Série de Reimann"

    Tu peux trouver des explications sur le web.
    En principe, cela se fait en cours en Sup, et on te demande de le faire en exercice ...en Terminale . C'est très bizarre...

    Je te mets quelques pistes,

    Un(α)=11α+12α+...+1nαU_n(\alpha)=\dfrac{1}{1^\alpha}+\dfrac{1}{2^\alpha}+...+\dfrac{1}{n^\alpha}Un(α)=1α1+2α1+...+nα1

    1 ) Tu dois prouver que :

    a) Pour α=1\alpha=1α=1, la suite est divergente ( vers +∞\infty)
    C'est la suite "harmonique"
    Tu as deux démonstrations ici :

    https://www.youtube.com/watch?v=yr5nQyGuPT4

    b) Pour α<1\alpha \lt 1α<1, la suite est divergente ( vers +∞\infty)
    Tu peux prouver que cette suite est supérieure à la série harmonique.
    Vu que la série harmonique est divergente ( vers +∞\infty), à forciori, celle-ci aussi

    c) Pour α>1\alpha \gt 1α>1, la suite est convergente
    Tu as une explication ici, par comparaison avec une intégrale
    http://serge.mehl.free.fr/anx/cv_riemann.html

    2 ) Pour un encadrement ( dans le cas α>1\alpha \gt 1α>1) , la suite est croissante et majorée par αα−1\dfrac{\alpha}{\alpha-1}α1α , tu peux utiliser cette valeur pour majorer.
    Pour minorer, tu as le choix. Le plus simple est de prendre 1.

    3 ) "géographiquement" ? tu as peut-être voulu parler de "graphiquement"
    Le graphique précédent (partie jaune ) me parait convenir.


  • Wil Fried

    @mtschoon J'ai pas compris le 1-c svp.


  • mtschoon

    @Wil-Fried ,

    J'essaie de t'expliquer le 1)c) par comparaison des aires, pour α>1\alpha \gt 1α>1, mais ce n'est pas facile à expliquer....

    Je ne sais pas si c'est la méthode ou le calcul qui te pose problème.
    Je détaille les deux.

    J’utilise les notations de ton énoncé.
    Je joins un nouveau graphique où j’ai supprimé les u1,u2,...du lien, car ils étaient très ambigus (et c’est peut-être pour cela que tu n’as pas compris)
    Reiimann.jpg
    La courbe en rose est la représentation graphique de la.fonction f définie par f(x)=1xα\boxed{f(x)=\dfrac{1}{x^\alpha}}f(x)=xα1, pour x>0x\gt 0x>0 (f est strictement décroissante)

    Pour n≥1n \ge 1n1 :
    Un=∑k=1n1xα\boxed{\displaystyle U_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{x^\alpha}}Un=k=1nxα1
    Un=1+12α+13α...+1nα\boxed{U_n=1+\dfrac{1}{2^\alpha}+\dfrac{1}{3^\alpha}...+\dfrac{1}{n^\alpha}}Un=1+2α1+3α1...+nα1

    Pour k=1k=1k=1 : 111 = l'aire du carré jaune de gauche (1 en "abscisse" et 1 en "ordonnée")

    Pour k=2k=2k=2 : 12α\dfrac{1}{2^\alpha}2α1= l'aire du premier rectangle de gauche (2-1=1 en "abscisse" et 12α=f(2)\dfrac{1}{2^\alpha}=f(2) 2α1=f(2) en "ordonnée")

    Pour k=3k=3k=3 : 13α\dfrac{1}{3^\alpha}3α1= l'aire du second rectangle de gauche (3-2=1 en "abscisse" et 12α=f(3)\dfrac{1}{2^\alpha}=f(3) 2α1=f(3) en "ordonnée")

    ...
    ...
    etc, jusqu'à k=nk=nk=n

    La somme des aires de ces rectangles est inférieure à l'aire "sous la courbe" (c'est à dire l'intégrale) :
    12α+13α+...+1nα≤∫1nf(x)dx\displaystyle \dfrac{1}{2^\alpha}+\dfrac{1}{3\alpha}+...+\dfrac{1}{n^\alpha}\le \int_1^nf(x)dx2α1+3α1+...+nα11nf(x)dx c'est à dire
    12α+13α+...+1nα≤∫1n1xαdx\displaystyle \dfrac{1}{2^\alpha}+\dfrac{1}{3\alpha}+...+\dfrac{1}{n^\alpha}\le \int_1^n\dfrac{1}{x^{\alpha}}dx2α1+3α1+...+nα11nxα1dx

    En ajoutant 1 à chaque membre :
    1+12α+13α+...+1nα≤1+∫1n1xαdx\displaystyle 1+\dfrac{1}{2^\alpha}+\dfrac{1}{3\alpha}+...+\dfrac{1}{n^\alpha}\le 1+\int_1^n\dfrac{1}{x^{\alpha}}dx1+2α1+3α1+...+nα11+1nxα1dx

    Un≤1+∫1n1xαdx\boxed{\displaystyle U_n\le 1+\int_1^n\dfrac{1}{x^{\alpha}}dx}Un1+1nxα1dx


  • mtschoon

    Reste à faire le calcul intégral :

    1+∫1n1xαdx=1+∫1nx−αdx=1+[x−α+1−α+1]1n\displaystyle 1+\int_1^n\dfrac{1}{x^\alpha} dx= 1+\int_1^n x^{-\alpha}dx=1+\biggr[\dfrac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\biggr]_1^n1+1nxα1dx=1+1nxαdx=1+[α+1xα+1]1n

    Après calcul , réduction au même dénominateur et simplification, tu dois trouver :
    1+∫1n1xαdx=n−α+1−α−α+1\displaystyle 1+\int_1^n\dfrac{1}{x^\alpha} dx= \dfrac{n^{-\alpha+1}-\alpha}{-\alpha+1}1+1nxα1dx=α+1nα+1α

    Conclusion :
    Un≤n−α+1−α−α+1U_n\le \dfrac{n^{-\alpha+1}-\alpha}{-\alpha+1}Unα+1nα+1α

    C'est à dire : Un≤α−n−α+1α−1U_n\le \dfrac{\alpha -n^{-\alpha+1}}{\alpha-1}Unα1αnα+1

    (Un)(U_n)(Un) est croissante et majorée par αα−1\dfrac{\alpha}{\alpha-1}α1α, donc convergente.


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