Exercice les suites variations

A l'aide d'un quotient de termes, déterminer les variations de la suite (Un), supposé strictement positive.

u2: 17 et Un+1 = 1/n*Un avec n appartenant au N et n supérieur ou égale à 2.

Merci de bien vouloir m'expliquer comment faire je ne comprends vraiment pas.

@Cécilia-Bourgeois , bonjour,

Piste,

Calcule le signe de la différence $U_{n+1}-U_n$

$Un+1−Un=1nUn−Un=Un(1n−1)U_{n+1}-U_n=\dfrac{1}{n}U_n-U_n=U_n(\dfrac{1}{n}-1)$

Tu peux écrire : $Un+1−Un=Un(1−nn)U_{n+1}-U_n=U_n(\dfrac{1-n}{n})$

Vu que $Un>0U_n\gt 0$ , $n>0n\gt 0$ et $1−n<01-n\lt 0$ , tu déduis les signe de $U_{n+1}-U_n$ d'où le sens de variation de la suite.

@mtschoon @Cécilia-Bourgeois bonjour
je pense que, comme demandé dans l'énoncé, il faut déterminer les variations de la suite en faisant le quotient de Un+1 / Un.
Après on compare ce quotient à 1 : si c'est supérieur à 1 la suite sera croissante, si c'est inférieur décroissante.

Mais la méthode ne marche qu'avec des termes strictement positifs, d'où la précision "supposée strictement positive"

On obtient donc un quotient de fractions, et au lieu de diviser par la fraction on multiplie par l'inverse etc...

@laureen_ , bonjour,

Tu fais comme tu veux.

En calculalnt $U_{n+1}-U_n$ , on cherche le signe du quotient $Un(1−n)n\dfrac{U_n(1-n)}{n}$

Ici, $n≥2n\ge 2$ donc $1−n<01-n\lt 0$ et $Un>0U_n\gt 0$ (par hypothèse)

donc : $Un+1−Un<0U_{n+1}-U_n\lt 0$ donc $Un+1<UnU_{n+1}\lt U_n$

suite $U_n)$ strictement décroissante.

En calculant le quotient $Un+1Un\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ , ça va très bien aussi.

$Un+1Un=1nUnUn=1n\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{\dfrac{1}{n}{U_n}}{U_n}=\dfrac{1}{n}$

$n≥2n\ge 2$ donc $1n<1\dfrac{1}{n}\lt 1$ donc $Un+1Un<1\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\lt 1$

donc $Un+1<UnU_{n+1}\lt U_n$

suite $U_n)$ strictement décroissante.