Exercice sur les matrices

Bonjour,
Soit la matrice A avec X1,1=5; X1,2=-4; X2.1=4; X2,2=-3.

calculer A^2,A^3,A^3.
conjecturer une expression pour A^n avec n un entier naturel non nul.
Démontrer par récurrence l’expérience conjecturée dans la question 2.
J’ai réussi à trouver la question 1 mais j’ai des difficultés pour la question 1.
Est ce que vous pouvez m’aider ?
Bien cordialement
Yayan

Pour la question 2. compare $A$ et $A^2$ , $A^2$ et $A^3$ , ....

@yayandu78 , bonsoir,

Piste,

Si tu as fait la question 1), tu as dû conjecturer que , pour tout n de $N^*$

$(−4n+1))A^n=\begin{pmatrix}(4n+1)\ \ (-4n) \cr (4n)\ \ \ (-4n+1)\end{pmatrix}$

Pour la récurrence,

Initialisation
Tu vérifies que la propriété est vaie pour n=1 (évident)

Hérédité

Tu supposes la formule vraie à l'ordre n, et tu la démontres à l'ordre (n+1) en faisant le calcul :
$An+1=A×AnA^{n+1}=A\times A^n$

(le calcul se fait très bien)

@mtschoon merci mais juste pour savoir. Tu fais directement le calcul A^(n+1)=A*A^n?

@yayandu78 , bonsoir,

Oui, tout à fait,

$A^{n+1}$ s'obtient en multipliant la matrice A par la matrice $A^n$

En urilisant pour $A^n$ l'expression de l'hypothèse de l'hérédité de la récurrence, tu dois trouver après calcul et simplification :

$(−4n−3))A^{n+1}=A\times A^n=\begin{pmatrix}(4n+5)\ \ (-4n-4)\cr(4n+4)\ \ (-4n-3)\end{pmatrix}$

Tu peux vérifier que cela fait bien :
$−4(n+1)+1))A_{n+1}=\begin{pmatrix}(4(n+1)+1\ \ \ \ \ -4(n+1)\cr4(n+1)\ \ \ \ \ -4(n+1)+1)\end{pmatrix}$ ,

donc $A^{n+1}$ a bien la forme voulue pour tirer la conclusion sur l'hérédité de la récurrence .