Nombres complexes et transformations plane

Bonjour,
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
décrit la transformation dont l'écriture complexe est z'= -e^(2iπ/3)z +1

@Mohssine en cours on a z' est une rotation de centre Omega si z'-w=eiθ(z-w)

@Mohssine , bonjour,

Effectivement, la transformation proposée est bien une rotation.

Si j'ai bien lu :

$z′=−e2iπ3z+1z'=-e^{\dfrac{2i\pi}{3}}z+1$

Il faut que tu transformes le "-"

$z′=(−1)e2iπ3z+1z'=(-1)e^{\dfrac{2i\pi}{3}}z+1$

$−1=eiπ-1=e^{i\pi}$ donc :

$z′=(eiπ)e2iπ3z+1z'=(e^{i\pi})e^{\dfrac{2i\pi}{3}}z+1$

En ajoutant les exposants :

$z′=e5iπ3z+1\boxed{z'=e^{\dfrac{5i\pi}{3}}z+1}$

@Mohssine ,

Si tu préfères :

$5π3=−π3[2π]\dfrac{5\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3} [2\pi]$

$z′=e−iπ3z+1\boxed{z'=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}z+1}$

@mtschoon non je vois pas encore ni l angle ni le centre de la transformation

@Mohssine , nos derniers messages ont dû de se croiser...

@mtschoon mais t as pas le meme w dans cette expression

@Mohssine en cours on doit avoir le meme w z'-w=eiθ(z-w)

@Mohssine ,

Pour trouver $w$ , effectivement, tu ne peux pas l'avoir immédiatement, vu qu'en factorisant "naturellement" on ne trouve pas le même $w$ , comme tu l'indiques

Il faut s'y prendre autrement.

$w$ étant l'affixe du point invariant, vu que l'image de $w$ est $w$ , tu trouves $w$ en résolvant :

$w=e5iπ3w+1w=e^{\dfrac{5i\pi}{3}}w+1$

@mtschoon on attend naoemi il a peut etre la solution

@Mohssine , pas de problème pour la solution !

Je complète pour trouver $w$

Tu peux écrire :

$w(1−e5iπ3)=1w(1-e^{\dfrac{5i\pi}{3}})=1$

c'est à dire

$w=11−e5iπ3w=\dfrac{1}{1-e^{\dfrac{5i\pi}{3}} }$

$e5iπ3=cos(5π3)+isin(5π3)=12−32ie^{\dfrac{5i\pi}{3}}=cos(\dfrac{5\pi}{3})+isin(\dfrac{5\pi}{3})=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt 3}{2}i$

d'où ;

$w=11+32iw=\dfrac{1}{1+\dfrac{\sqrt 3}{2}i}$

En multipliant et divisant par le complexe conjuqué, tu dois trouver, sauf erreur :
$w=12−32i\boxed{w=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt 3}{2}i}$

Le centre $Ω\Omega$ de la rotation a donc pour coordonnées : $(12,−32)(\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt 3}{2})$

Il aurait été heureux que ton cours t'indique que pour $z′=eiθz+bz'=e^{i \theta}z+b$ , il s'agit de la rotation de centre $Ω\Omega$ d'affixe $w$ (invariant) et d'angle $θ\theta$

Tu peux donc conclure.

@mtschoon surement il y a une erreur dans cette réponse

@Mohssine , explique ce que tu veux dire précisemment.
Vois-tu une erreur de calcul ? Si c'est le cas, il faut la donner. Tout est possible, bien sûr !

Principe (Théorème) :
$z^{'} = a z + b$ avec $a=eiθa=e^{i\theta}$ est la forme complexe de la rotation d'angle $θ\theta$ et de centre d'affixe $w=b1−aw=\dfrac{b}{1-a}$

@mtschoon avec les nombres complexes la simplicité doit etre présente

@Mohssine ,

La simplification doit être présente partout...

Fait une vérification .

$z′−w=eiθ(z−w)z'-w=e^{i\theta}(z-w)$ <=> $z′=eiθz+w(1−eiθ)z'=e^{i\theta}z+w(1-e^{i\theta})$

Ici, tu as donc $θ=5π3\theta=\dfrac{5\pi}{3}$ et $w(1−eiθ)=1w(1-e^{i\theta})=1$ c'est à dire :
$w=11−eiθw=\dfrac{1}{1-e^{i\theta}}$

C'est le calcul que je t'ai proposé (vu que l'énoncé n'était pas de la forme de ton cours ) et vérifie le calcul si tu as un doute.

Bons calculs .

@mtschoon je vais essayer de trouver la réponse pour ca sans doute c est pas un grand exo

@Mohssine , ce n'était pas un exercice "compliqué", mais ce n'était pas commode vu que la formule de ton cours (Il semble que tu n'en avais qu'une) ne pouvait pas s'appliquer directement.

Je viens de vérifier les calculs proposés vu que tu avais un doute. Pas d'erreur en vue...

Bon travail !

Illustration graphique
Le centre de la rotation est $Ω(12,−32)\Omega (\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt 3}{2})$
L'angle de la rotation est $[2π]\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{-\pi}{3}\ [2\pi]$

Pour $z = 0$ (point $O$ ), $z^{'} = 1$ (point $O^{'}$ )

L'image de $O$ est $O^{'}$ défini par :
$ΩO=ΩO′\Omega O=\Omega O'$ et $[2π](\overrightarrow{\Omega O},(\overrightarrow{\Omega O'})=\dfrac{-\pi}{3}\ [2\pi]$

@mtschoon la j ai tous compris merci bcp

Si tu as tout compris maintenant, c'est parfait @Mohssine !