Nombres complexes et transformations plane


  • M

    Bonjour,
    Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
    décrit la transformation dont l'écriture complexe est z'= -e^(2iπ/3)z +1


  • M

    @Mohssine en cours on a z' est une rotation de centre Omega si z'-w=eiθ(z-w)


  • mtschoon

    @Mohssine , bonjour,

    Effectivement, la transformation proposée est bien une rotation.

    Si j'ai bien lu :

    z′=−e2iπ3z+1z'=-e^{\dfrac{2i\pi}{3}}z+1z=e32iπz+1

    Il faut que tu transformes le "-"

    z′=(−1)e2iπ3z+1z'=(-1)e^{\dfrac{2i\pi}{3}}z+1z=(1)e32iπz+1

    −1=eiπ-1=e^{i\pi}1=eiπ donc :

    z′=(eiπ)e2iπ3z+1z'=(e^{i\pi})e^{\dfrac{2i\pi}{3}}z+1z=(eiπ)e32iπz+1

    En ajoutant les exposants :

    z′=e5iπ3z+1\boxed{z'=e^{\dfrac{5i\pi}{3}}z+1}z=e35iπz+1


  • mtschoon

    @Mohssine ,

    Si tu préfères :

    5π3=−π3[2π]\dfrac{5\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3} [2\pi]35π=3π[2π]

    z′=e−iπ3z+1\boxed{z'=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}z+1}z=ei3πz+1


  • M

    @mtschoon non je vois pas encore ni l angle ni le centre de la transformation


  • mtschoon

    @Mohssine , nos derniers messages ont dû de se croiser...


  • M

    @mtschoon mais t as pas le meme w dans cette expression


  • M

    @Mohssine en cours on doit avoir le meme w z'-w=eiθ(z-w)


  • mtschoon

    @Mohssine ,

    Pour trouver www , effectivement, tu ne peux pas l'avoir immédiatement, vu qu'en factorisant "naturellement" on ne trouve pas le même www, comme tu l'indiques

    Il faut s'y prendre autrement.

    www étant l'affixe du point invariant, vu que l'image de www est www, tu trouves www en résolvant :

    w=e5iπ3w+1w=e^{\dfrac{5i\pi}{3}}w+1w=e35iπw+1


  • M

    @mtschoon on attend naoemi il a peut etre la solution


  • mtschoon

    @Mohssine , pas de problème pour la solution !

    Je complète pour trouver www

    Tu peux écrire :

    w(1−e5iπ3)=1w(1-e^{\dfrac{5i\pi}{3}})=1w(1e35iπ)=1

    c'est à dire

    w=11−e5iπ3w=\dfrac{1}{1-e^{\dfrac{5i\pi}{3}} }w=1e35iπ1

    e5iπ3=cos(5π3)+isin(5π3)=12−32ie^{\dfrac{5i\pi}{3}}=cos(\dfrac{5\pi}{3})+isin(\dfrac{5\pi}{3})=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt 3}{2}ie35iπ=cos(35π)+isin(35π)=2123i

    d'où ;

    w=11+32iw=\dfrac{1}{1+\dfrac{\sqrt 3}{2}i}w=1+23i1

    En multipliant et divisant par le complexe conjuqué, tu dois trouver, sauf erreur :
    w=12−32i\boxed{w=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt 3}{2}i}w=2123i

    Le centre Ω\OmegaΩ de la rotation a donc pour coordonnées : (12,−32)(\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt 3}{2})(21,23)

    Il aurait été heureux que ton cours t'indique que pour z′=eiθz+bz'=e^{i \theta}z+bz=eiθz+b, il s'agit de la rotation de centre Ω\OmegaΩ d'affixe www (invariant) et d'angle θ\thetaθ

    Tu peux donc conclure.


  • M

    @mtschoon surement il y a une erreur dans cette réponse


  • mtschoon

    @Mohssine , explique ce que tu veux dire précisemment.
    Vois-tu une erreur de calcul ? Si c'est le cas, il faut la donner. Tout est possible, bien sûr !

    Principe (Théorème) :
    z′=az+bz'=az+bz=az+b avec a=eiθa=e^{i\theta}a=eiθest la forme complexe de la rotation d'angle θ\thetaθ et de centre d'affixe w=b1−aw=\dfrac{b}{1-a}w=1ab


  • M

    @mtschoon avec les nombres complexes la simplicité doit etre présente


  • mtschoon

    @Mohssine ,

    La simplification doit être présente partout...

    Fait une vérification .

    z′−w=eiθ(z−w)z'-w=e^{i\theta}(z-w)zw=eiθ(zw) <=> z′=eiθz+w(1−eiθ)z'=e^{i\theta}z+w(1-e^{i\theta})z=eiθz+w(1eiθ)

    Ici, tu as donc θ=5π3\theta=\dfrac{5\pi}{3}θ=35π et w(1−eiθ)=1w(1-e^{i\theta})=1w(1eiθ)=1 c'est à dire :
    w=11−eiθw=\dfrac{1}{1-e^{i\theta}}w=1eiθ1

    C'est le calcul que je t'ai proposé (vu que l'énoncé n'était pas de la forme de ton cours ) et vérifie le calcul si tu as un doute.

    Bons calculs .


  • M

    @mtschoon je vais essayer de trouver la réponse pour ca sans doute c est pas un grand exo


  • mtschoon

    @Mohssine , ce n'était pas un exercice "compliqué", mais ce n'était pas commode vu que la formule de ton cours (Il semble que tu n'en avais qu'une) ne pouvait pas s'appliquer directement.

    Je viens de vérifier les calculs proposés vu que tu avais un doute. Pas d'erreur en vue...

    Bon travail !


  • mtschoon

    Illustration graphique
    Le centre de la rotation est Ω(12,−32)\Omega (\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt 3}{2})Ω(21,23)
    L'angle de la rotation est 5π3=−π3 [2π]\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{-\pi}{3}\ [2\pi]35π=3π [2π]

    Pour z=0z=0z=0 (point OOO), z′=1z'=1z=1 (point O′O'O)

    L'image de OOO est O′O'O défini par :
    ΩO=ΩO′\Omega O=\Omega O'ΩO=ΩO et (ΩO→,(ΩO′→)=−π3 [2π](\overrightarrow{\Omega O},(\overrightarrow{\Omega O'})=\dfrac{-\pi}{3}\ [2\pi](ΩO,(ΩO)=3π [2π]

    rotation.jpg


  • M

    @mtschoon la j ai tous compris merci bcp


  • mtschoon

    Si tu as tout compris maintenant, c'est parfait @Mohssine !


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