exercice sur les sommes

Rebonjour, j'ouvre donc une nouvelle discussion:
J'ai utilisé la formule et je trouve: 1/2[sin(2kteta+2teta)+sin(-2kteta)]
Le problème c'est que je suis pas beaucoup avancé avec ça puisque la question suivante me demande d'en déduire la somme de k=0 à n de cos(2k+1)teta et je n'ai meme pas de cos dans mon expression...

peut être sin((2n+1)teta+2teta)/sin(teta) ? pour la somme

@gregory , rebonjour,

En linéarisant avec $sinacosb=12[sin(a+b)+sin(a−b)]sinacosb=\dfrac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)]$

$sinθcos((2k+1)θ)sin\theta cos((2k+1)\theta)$ = $12[sin((2k+2)θ)+sin((−2k)θ)]\dfrac{1}{2}[sin((2k+2)\theta)+sin((-2k)\theta)]$

$sinθcos((2k+1)θ)=12[sin((2k+2)θ)−sin(2kθ)]sin\theta cos((2k+1)\theta)=\dfrac{1}{2}[sin((2k+2)\theta)-sin(2k\theta)]$

Donc :

$cos((2k+1)θ)=12sinθ[sin((2k+2)θ)−sin(2kθ)]cos((2k+1)\theta)=\dfrac{1}{2sin\theta}[sin((2k+2)\theta)-sin(2k\theta)]$

Tu as une somme telescopique , que tu traites comme dans ton exercice précédent.

@gregory ,

Pour la somme télescopique $∑k=1ncos((2k+1)θ)\displaystyle\sum_{k=1}^n cos((2k+1)\theta)$ , sauf erreur, tu dois trouver :

$12sinθ[sin((2n+2)θ)−sin(2θ)]\dfrac{1}{2sin\theta}[sin((2n+2)\theta)-sin(2\theta)]$

Bons calculs.

Bonjour,
merci beaucoup c'est effectivement ce que j'avais mais sur la somme je doutais:
est-ce que je peux tout simplement sortir le 1/2sin(teta) qui ne dépend pas de k, le mettre en facteur en dehors de la somme, et développer en prenant k=1,2...n pour trouver le résultat ? toute fois je ne pense pas que ce soit ce qui est attendu... Il ne serait pas mieux d'utliser des formules ? si oui laquelle ?
Merci beaucoup

@gregory Bonjour,

Ton raisonnement est correct. Applique le et tu trouveras le résultat indiqué.

mais il n'existe pas de formule applicable pour trouver un résultat de façon plus "jolie" ?

@gregory

Tu peux simplifier le résultat en utilisant la relation :
$sin(\dfrac{a-b}{2})cos(\dfrac{a+b}{2})$

non mais avec la somme je veux dire

j'ai cherche le résultat de cette même somme d'une autre façon pour une autre question, en utilisant cos(x)=Re(exp(ix)) et je trouve sin(2n+2)teta/2sin(teta)... Ce n'est pas le même résultat que ce que vous trouvez...

@gregory, revois tes calculs.

Je viens de faire les calculs avec la seconde méthode (par les exponentielles).

Je trouve , en appelant S la somme cherchée :

$S=sin(nθ)cos((n+2)θ)sinθ\boxed{S=\dfrac{sin (n\theta) cos((n+2)\theta)}{sin \theta}}$

Tu peux très bien donner ce résultat final.

Si tu veux t'assurer qu'il est identique au résultat obtenu avec la forme télescopique, tu transformes avec
$sinacosb=12[sin(a+b)−sin(a−b)]sinacosb=\dfrac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b)]$

$(n\theta) cos((n+2)\theta)=\dfrac{1}{2}[sin((2n+2)\theta)+sin(-2\theta)]$

$(n\theta) cos((n+2)\theta)=\dfrac{1}{2}[sin((2n+2)\theta)-sin(2\theta)]$

D'où

$S=sin((2n+2)θ)−sin(2θ)2sinθS=\dfrac{sin((2n+2)\theta)-sin(2\theta)}{2sin\theta}$

CQFD

Revois donc tes calculs faits avec les exponentielles pour trouver la formule encadrée, car la formule que tu trouves n'est pas bonne.

okay je reprends tout ça demain. Merci

@gregory , d'accord.

@gregory , si ça t'arrange, je te mets les pistes de calcul avec les exponentielles.
Ce ne sont que des pistes; je ne détaille pas tout.

Soit $σ=∑k=1nei(2k+1)θ=eiθ∑k=1nei2kθ\sigma=\displaystyle \sum_{k=1}^ne^{i(2k+1)\theta}=e^{i\theta} \sum_{k=1}^ne^{i2k\theta}$

Somme des termes de suite géométrique , d'où:
$σ=eiθ×e2iθ1−e2inθ1−e2iθ\sigma=\displaystyle e^{i\theta} \times e^{2i\theta}\dfrac{1-e^{2in\theta}}{1-e^{2i\theta}}$
$σ=e3iθ×1−e2inθ1−e2iθ\sigma=\displaystyle e^{3i\theta}\times \dfrac{1-e^{2in\theta}}{1-e^{2i\theta}}$

En transformant avec l'angle moitié
$σ=e3iθ×eniθ(e−inθ−einθ)eiθ(e−iθ−eiθ)\sigma=\displaystyle e^{3i\theta}\times \dfrac{e^{ni\theta}(e^{-in\theta}-e^{in\theta})}{e^{i\theta}(e^{-i\theta}-e^{i\theta})}$

En retournant aux sinus avec la formule usuelle $e^{ix}-e^{-ix}=2isinx$ et en simplifiant, on obtient :

$σ=e(n+2)iθ×sin(nθ)sinθ\sigma=e^{(n+2)i\theta}\times \dfrac{sin(n\theta)}{sin\theta}$

En prenant la partie réelle, la somme S cherchée vaut :

$S=Re(σ)=cos((n+2)θ)×sin(nθ)sinθS=Re(\sigma)=cos((n+2)\theta)\times \dfrac{sin(n\theta)}{sin\theta}$

Bons calculs.