Repère orthonormé & Orthogonalité

Bonjour pouvez-vous m’aider pour cet exercice svpp

on se place dans l'espace muni d'un repère orthonorme.
on considere les points: A(0;1/2;3/2), B(2;-1/2;1/2), C(3/2;-3/2;2), D(2;0;0), E(5/2;0;1) et F(0;-2;-2)

montrer que les points A B et C d'une part et D E et F d'autres part définissent un plan.
a. montrer que le vecteur AB est un vecteur normal au plan DE F.
b. que peut-on en déduire quand aux plans ABC et DEF.
a. déterminer la distance du point A au plan DE F.
b. déterminer la distance du point D au plan ABC

@RK , bonsoir,

Piste pour démarrer si tu n'as rien fait,

Pour montrer que les points A B et C définissent un plan, tu peux montrer que les vecteurs $AB→\overrightarrow{AB}$ et $AC→\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Si j'ai bien lu les coordonnées écrits (vérifie) :
$AB→\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(2 - 0, - 1 / 2 - 1 / 2, 1 / 2 - 3 / 2)$ c'est à dire $(2, - 1, - 1)$

$AC→\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(3 / 2 - 0, - 3 / 2 - 1 / 2, 2 - 3 / 2)$ c'est à dire $(3 / 2 - 2, 1 / 2)$

Tu cherches s'il existe un réel k tel que $AC→=kAC→\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AC}$

C'est à dire : ${32=k(2)−2=k(−1)12=k(−1)\begin{cases}\dfrac{3}{2}=k(2)\cr -2=k(-1) \cr \dfrac{1}{2}=k(-1)\end{cases}$

$k$ ne peut pas valoir à la fois $34,2,−12\dfrac{3}{4}, 2, -\dfrac{1}{2}$

Donc impossibilité, d'où la réponse.

Essaie de poursuivre et indique si besoin les résultats que tu as obtenus.

@mtschoon

Mercii
Ensuite je fait pareil avec vecteur DE et vecteur DF .
Et je conclus

Pour la question 2 je calcule vecteur AB.DE et comme je trouve 0 je peux conclure que le vecteur AB est normal au plan DEF

@RK

Pouvez-vous me dire si mes résultats pour les questions 3a et b sont justes svp
3a . 1,8
3b . -3racine de 5 /10

@RK ,

Ta réponse pour la 2) est incomplète.
Pour prouver que $AB→\overrightarrow{AB}$ est un vecteur normal au plan DE F, il faut prouver que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (DEF).

Il faut donc prouver ;
$AB→.DE→=0\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DE} =0$ et aussi
$AB→.DF→=0\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DF} =0$

Il faut en déduire la conséquence sur la position relative des deux plans.
Tu dois savoir que si une droite (D) est perpendiculaire à un plan (P), tout plan passant par (D) est perpendiculaire à (P).
Tu peux donc conclure.

Pour les distances, tes réponses ne sont pas bonnes mais tu ne dis pas ce que tu as fait...

@RK , bonjour,

Je te donne quelques pistes pour le calcul des distances, si besoin.

Je suppose que dans ton cours, tu as la formule usuelle utile .

Soit $A(x_0,y_0,z_0)$ un point
Soit ax+by+cz+d =0 une équation d'un plan (P)

La distance $d$ de A à (P) est :
$d=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2\boxed{d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}}$

Pour la distance du point A au plan (DEF), il faut déterminer une équation de ce plan.
Tu sais que $AB→(2,−1,−1)\overrightarrow{AB} (2,-1,-1)$ est un vecteur normal au plan, donc, une équation du plan est :
$2 x - y - z + d = 0$
Pour trouver la valeur de d, tu utilses les coordonnées d'un point du plan. Le plus simple est de prendre le pont D, d'où $d = - 4$

Une équation de (DEF) est donc : $2 x - y - z - 4 = 0$
En appliquant la formule de la distance, après calcul, sauf erreur, $d=66=6d=\dfrac{6}{\sqrt 6}=\sqrt 6$

Pour la distance du point D au plan (ABC), il faut déterminer une équation de ce plan.

Il y a plusieurs façons, mais vu l'esprit de l'exercice, le mieux est de passer encore par un vecteur normal.
Vu que tu as dû conclure à la question 2)b) que les plans (ABC) et (DEF) sont perpendiculaires, leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.
Soit $N→(α,β,γ)\overrightarrow{N} (\alpha, \beta,\gamma)$ un vecteur normal au plan (DEF)

$N→.AB→=0\overrightarrow{N}.\overrightarrow{AB}=0$
$α(2)+β(−1)+γ(−1)=0\alpha(2)+\beta(-1)+\gamma(-1)=0$
Tu peux donc prendre , par exemple, $N→(1,1,1)\overrightarrow{N}(1,1,1)$ .

Tu peux ainsi trouver une équation du plan (ABC) puis la distance de D à ce plan.

Tu peux donner tes réponses si tu souhaites une vérification.

@mtschoon

Mercii
Juste pouvez-vous me ré expliquer comment vous avez trouver la valeur de d pour l’équation svp
Mercii

@RK , bonjour,

Je t'indique la démarche pour la distance $d$ du point A au plan(DEF)
Le point A a pour coordonnées $(0,12,32)(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2})$
$x0=0,y0=12,z0=32x_0=0,y_0=\dfrac{1}{2},z_0=\dfrac{3}{2}$

Le plan (DEF) a pour équation $2 x - y - z - 4 = 0$

$∣2x0−y0−z0−4∣=∣−2(0)−12−32−4)∣=∣−6∣=6|2x_0-y_0-z_0-4|=|-2(0)-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}-4)|=|-6|=6$

L'équation du paln (DEF) est de la forme $a x + b y + c$ avec $a = 2, b = - 1, c = - 4$

$a2+b2+c2=(2)2+(−1)2+(−1)2=6\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt 6$

Avec la formule usuelle (encadrée dans mon message précédent) :
$d=66=6d=\dfrac{6}{\sqrt 6}=\sqrt 6$

@mtschoon
Mercii beaucouppp
Mais je n’ai pas compris comment vous avez trouver d dans l’équation du plan

@RK ,

L'équation du plan (DEF) est $2 x - y - z - 4 = 0$

Tu prends le membre de gauche $2 x - y - z - 4$ dans lequel tu remplaces $x, y, z$ par $x_0,y_0,z_0$ les coordonnées de A

Donc :
$2x0−y0−z0−4=2(0)−12−32−4=−62x_0-y_0-z_0-4=2(0)-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}-4=-6$

Tu prends la valeur absolue :

$2x_0-y_0-z_0-4|=|-6|=6$

6 est donc le numérateur de la formule de la distance

Le dénominateur est $6\sqrt 6$ d'ou la réponse.

@mtschoon
L’équation d’un plan c’est ax+by+cz+d
Ici a=2; b=-1; c=-1
Et vous avez dit que d = 4 mais comment vous avez trouver cette valeur ?

@mtschoon
Pour la question 3b je fait

L'équation du plan (ABC) est -2x−2y−2z−4=0

Je remplace x,y, et z par les coordonnées de D :
Donc :
-22−20-20=-4
je prends la valeur absolue : |-22−20-20|=4
4 est donc le numérateur de la formule de la distance

Le dénominateur: 2racine de 3
Donc la distance est (2racine de 3)/3

@RK a dit dans Repère orthonormé & Orthogonalité :

Pour la question 3b je fait
L'équation du plan (ABC) est -2x−2y−2z−4=0
Je remplace x,y, et z par les coordonnées de D :
Donc :
-2x2−2x0-2x0-4=-8
je prends la valeur absolue : |-2x2−2x0-2x0|=8
8 est donc le numérateur de la formule de la distance
Le dénominateur: 2racine de 3
Donc la distance est (4racine de 3)/3

@RK ,
J'ignore le calcul que tu as fait pour l'équation du plan (ABC)
Comme indiqué précédemment , un vecteur normal au plan (ABC) est $N→(1,1,1)\overrightarrow{N}(1,1,1)$
L'équation du plan(ABC) peut s'écrire $x + x + z + d = 0$

A appartient à ce plan : $0+12+32+d=00+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}+d=0$
c'est à dire $2 + d = 0$ , c'est à dire $d = - 2$
Equation : $x+y+z−2=0\boxed{x+y+z-2=0}$

Remarque : tu peux aussi l'écrire $- 2 x - 2 y - 2 z + 4 = 0$ si tu préfères ,mais ça complique inutilement.

Lorsque tu auras revu l'équation du plan (ABC), , tu verras que la distance de D au plan (ABC) est vraiment très très simple...il n'y a pas plus simple; je te la laisse trouver.

@RK , je vois que tu es revenu sur une question relative à l'équation du plan (DEF) du début.

@RK a dit dans Repère orthonormé & Orthogonalité :

@mtschoon
L’équation d’un plan c’est ax+by+cz+d
Ici a=2; b=-1; c=-1
Et vous avez dit que d = 4 mais comment vous avez trouver cette valeur ?

Relis.
Je n'ai pas dit $d = 4$ , mais $d = - 4$

Je te fais le calcul :
Un vecteur normal est $AB→(2,−1,−1)\overrightarrow{AB}(2,-1,-1)$

donc équation du plan(DEF) : $2 x - y - z + d = 0$

Tu utilises un point du plan (DEF), par exemple $D (2, 0, 0)$

Tu obtiens ainsi : $4 - 0 - 0 + d = 0$ c'est à dire $d = - 4$

L'équation du plan (DEF) est donc $2x−y−z−4=0\boxed{2x-y-z-4=0}$