Démonstration par récurrence
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EZECKIEL JEFFER dernière édition par EZECKIEL JEFFER
bonjour svp j'ai besoin d 'aide
Démontrer que ∀n∈N∗2n−1≤n!≤nn\forall n \in N^* 2^{n-1} \le n! \le n^n∀n∈N∗2n−1≤n!≤nn
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@EZECKIEL-JEFFER Bonjour,
As-tu essayé une démonstration par récurrence ?
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EZECKIEL JEFFER dernière édition par
@Noemi oui effectivement
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EZECKIEL JEFFER dernière édition par
@Noemi je commence et au niveau de la l'hérédité je me bloque
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EZECKIEL JEFFER dernière édition par EZECKIEL JEFFER
@Noemi voulez vous que je vous montre mon cheminement ??
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Oui, tu peux l'écrire.
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EZECKIEL JEFFER dernière édition par
@Noemi l écriture en latex vas me prendre assez de temps mais je vais y arriver
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EZECKIEL JEFFER dernière édition par EZECKIEL JEFFER
- Initialisation
Au rang n= 1
1≤1≤11 \le 1 \le11≤1≤1
2)hérédité
Demontrons que p(n+1) est vrai c'est à dire
2n+1−1≤(n+1)!≤(n+1)n+12^{n+1-1} \le (n+1)! \le (n+1)^{n+1}2n+1−1≤(n+1)!≤(n+1)n+1
On a 2n−1≤n!≤nn2^{n-1} \le n! \le n^n2n−1≤n!≤nn
22n−1≤2n!≤2nn2 2^{n-1} \le 2n! \le 2n^n22n−1≤2n!≤2nn
2n≤2n!≤2nn2^n \le 2n! \le 2n^n2n≤2n!≤2nn
On sait que n∈N∗n \in N^*n∈N∗
Donc 2≤n+1 ⟹ 2n!≤(n+1)n!2\le n+1\implies 2n!\le (n+1)n!2≤n+1⟹2n!≤(n+1)n!
On peut écrit alors que 2n≤(n+1)n!≤nn2^n\le (n+1)n! \le n^n2n≤(n+1)n!≤nn
2n≤(n+1)!≤2nn2^n \le (n+1)! \le 2n^n2n≤(n+1)!≤2nn
Et c'est à partir d ici que je n arrives plus à avancer
- Initialisation
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Pour les deux termes de droite ,
Commence par n!≤nnn! \leq n^nn!≤nn puis multiplie par n+1n+1n+1
Et utilise le fait que n<n+1n\lt n+1n<n+1
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EZECKIEL JEFFER dernière édition par
@Noemi et c'est tout ?
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Ecris les inéquations correspondantes.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonsoir,
@EZECKIEL-JEFFER, lorsque tu auras terminé la récurrence (si l'énoncé t'impose une récurrence, bien sûr, ce que je trouve non pertinent ...), je te propose une explication directe par comparaison terme à terme qui me semble beaucoup plus simple.
1er cas : n=1n=1n=1, égalité car 20=0!=112^0=0!=1^120=0!=11 donc on peut évidemment écrire 20≤0!≤112^0\le 0!\le1^120≤0!≤11
2ème cas : n>1n \gt 1n>1
Pour 2n−12^{n-1}2n−1, je mets le facteur 1 en plus, pour avoir n termes (pour la comparaison).
2n−1=1×2×2×...×22^{n-1}=1\times 2\times 2\times...\times 22n−1=1×2×2×...×2
n!=1×2×3×...×n\ \ \ \ n!=1\times 2\times 3\times...\times n n!=1×2×3×...×nOr, 1≤1 ; 2≤2 ; 2≤3 ; 2≤4 ;... ; 2≤n1\le 1\ ; \ 2\le 2\ ; \ 2\le 3\ ;\ 2\le 4\ ; ...\ ;\ 2\le n1≤1 ; 2≤2 ; 2≤3 ; 2≤4 ;... ; 2≤n
Donc : 2n−1≤n!\boxed{2^{n-1}\le n!}2n−1≤n!n!=1×2×3×...×n\ n!=1\times 2\times 3\times...\times n n!=1×2×3×...×n
nn=n×n×n×...×nn^n=n\times n\times n\times...\times nnn=n×n×n×...×nOr 1≤n ; 2≤n ; 3≤n ;....; n≤n1\le n\ ; \ 2\le n\ ;\ 3\le n\ ;....;\ n\le n1≤n ; 2≤n ; 3≤n ;....; n≤n,
Donc n!≤nn\boxed{n!\le n^n}n!≤nnCQFD.
Bonne lecture.
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EZECKIEL JEFFER dernière édition par
@Noemi merci pour l aide
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EZECKIEL JEFFER dernière édition par
@mtschoon mercie pour l aide
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mtschoon dernière édition par mtschoon
De rien @EZECKIEL-JEFFER .
J'espère que cette double inégalité n'a plus de mystère pour toi.
