Calcul vectoriel somme vectorielle


  • K

    Bonjour,
    Les lettres majuscules désignent des vecteurs.
    EG=AB+AD
    EB=AB-AE
    EK=6AB+2AD-4AE.
    Ecrire EK en fonction de EG et EB (EK=aEG+bEB), a et b réels
    J'ai tourné en rond et je n'arrive pas.
    Y a t-il Une méthode générale pour ce genre de calcul ?
    Merci d'avance.


  • mtschoon

    @kadforu , bonjour,

    Evidemment , tu ne donnes pas de détail sur ces vecteurs (non nuls...non colinéaires..., formant une base de l'espace...?)

    Calculs possibles, si tu es sûr de ton énoncé.

    On cherche a et b tels que
    EK→=aEG→+bEB→\overrightarrow{EK}=a\overrightarrow{EG}+b\overrightarrow{EB}EK=aEG+bEB
    c'est à dire :
    EK→=a(AB→+AD→)+b(AB→−AE→)\overrightarrow{EK}=a(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+b(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE})EK=a(AB+AD)+b(ABAE)
    c'est à dire :
    EK→=(a+b)AB→+aAD→−bAE→\overrightarrow{EK}=(a+b)\overrightarrow{AB}+a\overrightarrow{AD}-b\overrightarrow{AE}EK=(a+b)AB+aADbAE
    Or :
    EK→=6AB→+2AD→−4AE→\overrightarrow{EK}=6\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}-4\overrightarrow{AE}EK=6AB+2AD4AE

    Par identification :
    {a+b=6a=2b=4\begin{cases}a+b=6\cr a=2\cr b=4\end{cases}a+b=6a=2b=4

    Tu tires la conclusion.


  • mtschoon

    Autre façon :

    Tu peux bien sûr décomposer EK→\overrightarrow{EK}EK (mais il faut décomposer "à l'inspiration"...)

    EK→=6AB→+2AD→−4AE→\overrightarrow{EK}=6\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}-4\overrightarrow{AE}EK=6AB+2AD4AE
    EK→=2AB→+4AB→+2AD→−4AE→\overrightarrow{EK}=2\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}-4\overrightarrow{AE}EK=2AB+4AB+2AD4AE
    En regroupant :
    EK→=2(AB→+AD→)+4(AB→−AE→)\overrightarrow{EK}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+4(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE})EK=2(AB+AD)+4(ABAE)
    Donc :
    EK→=2EG→+4EB→\overrightarrow{EK}=2\overrightarrow{EG}+4\overrightarrow{EB}EK=2EG+4EB

    Tu as le choix de la méthode.


  • K

    Merci pour vos deux réponses.
    ⎧a+b=6
    a=2
    b=4​
    Finalement a=2 et b=4 et la première équation est vérifiée.
    Donc EK=2EG+4EB

    J'ai horreur de ce genre de calcul, on peut tourner longtemps avec la relation de Chasles.
    Je l'ai utilisée dans cet exercice et j'obtenais des lignes d'une certaine longueur.


  • mtschoon

    De rien @kadforu ,

    Effectivement, avec la relation de Chasles, on peut parfois "tourner en rond" un certain temps...

    La première méthode indiquée n'est pas la plus "astucieuse" mais c'est peut-être la plus sûre.

    C'est très bien si cela te convient.

    Bon travail.


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