Suite numérique à fonction
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Lloicstephan dernière édition par
Bonjour cher tous
Petite préoccupation
J’ai une suite définie par u0=10u_0=10u0=10 puis Un+1=f(Un)U_{n+1}=f(U_n)Un+1=f(Un)
On demande de montrer par récurrence que que UnU_nUn supérieur ou égal à 3
Bien évidemment je bloque à l’hérédité
Merci de votre aide
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mtschoon dernière édition par
@loicstephan , bonsoir,
Impossible de te répondre vu que tu ne donnes par l'expression de f(x)...
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Lloicstephan dernière édition par
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Lloicstephan dernière édition par Noemi
@loicstephan ![text alternatif]
Lien supprimé par la modération.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@loicstephan , re-bonsoir,
https://forum.mathforu.com/topic/1378/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message
Comme indiqué, les énoncés doivent être écrits...(donc ton lien n'est pas autorisé ici, tu devrais le supprimer) mais toujours pas d'expression de f(x) en vue ...
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Un exemple pour te montrer que sans connaître f , on ne peut rien faire.
Soit f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=x1
U0=10U_0=10U0=10
Un+1=f(Un)U_{n+1}=f(U_n)Un+1=f(Un) c'est à dire ici : Un+1=1UnU_{n+1}=\dfrac{1}{U_n}Un+1=Un1Calcul quelques termes.
U1=0.1U_1=0.1U1=0.1
U2=10U_2=10U2=10
U3=0.1U_3=0.1U3=0.1
U4=10U_4=10U4=10
etcDans cet exemple, la proposition UnU_nUn supérieur ou égal à 3 est fausse...
Tout dépend de l'expression de f(x)...
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Lloicstephan dernière édition par
@mtschoon
C’est pourtant un sujet d’examen !
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Lloicstephan dernière édition par loicstephan
@loicstephan
f(x)f(x)f(x) est de la forme x2−3x+6x−1\frac{x^2-3x+6}{x-1}x−1x2−3x+6
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour @loicstephan,
Cette fois, ton exercice a un sens.
Je t'indique la marche à suivre.
a ) Tu étudies les variations de la fonction f :
Df=Df′=RD_f=D_f'=R Df=Df′=R \ {1}
f′(x)=x2−2x−3(x−1)2f'(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}f′(x)=(x−1)2x2−2x−3
Tu fais le tableau de variations sur RRR
Tu dois trouver que f(3)=3f(3)=3f(3)=3 et que pour xxx appartenant à [3,+∞∣[3,+\infty|[3,+∞∣, la fonction fff est croissante et prend des valeurs de 333 à +∞+\infty+∞ c'est à dire f(x)≥3f(x)\ge 3f(x)≥3b ) Conséquence pour la récurrence :
Initialisation : U0=10U_0=10U0=10 donc U0≥3U_0\ge 3U0≥3
Hérédité :
Hyphothèse : pour n≥0n \ge 0n≥0 , Un≥3U_n\ge 3Un≥3
Conclusion à démontrer : Un+1≥3U_{n+1}\ge 3Un+1≥3DEMONSTRATION
Pour Un≥3U_n\ge 3Un≥3, d'après l'étude des variations de fff, f(Un)≥3f(U_n)\ge 3f(Un)≥3
Or , f(Un)=Un+1f(U_n)=U_{n+1}f(Un)=Un+1 donc Un+1≥3U_{n+1}\ge 3Un+1≥3
CQFD.
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Lloicstephan dernière édition par
@mtschoon
Merci
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mtschoon dernière édition par
@loicstephan , de rien !
J'espère que tu as bien compris la démarche.
