Suite numérique à fonction

Bonjour cher tous
Petite préoccupation
J’ai une suite définie par $u_0=10$ puis $U_{n+1}=f(U_n)$
On demande de montrer par récurrence que que $U_n$ supérieur ou égal à 3
Bien évidemment je bloque à l’hérédité
Merci de votre aide

@loicstephan , bonsoir,

Impossible de te répondre vu que tu ne donnes par l'expression de f(x)...

@mtschoon

@loicstephan ![text alternatif]

Lien supprimé par la modération.

@loicstephan , re-bonsoir,

https://forum.mathforu.com/topic/1378/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message

Comme indiqué, les énoncés doivent être écrits...(donc ton lien n'est pas autorisé ici, tu devrais le supprimer) mais toujours pas d'expression de f(x) en vue ...

Un exemple pour te montrer que sans connaître f , on ne peut rien faire.

Soit $f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}$

$U_0=10$
$U_{n+1}=f(U_n)$ c'est à dire ici : $Un+1=1UnU_{n+1}=\dfrac{1}{U_n}$

Calcul quelques termes.
$U_1=0.1$
$U_2=10$
$U_3=0.1$
$U_4=10$
etc

Dans cet exemple, la proposition $U_n$ supérieur ou égal à 3 est fausse...

Tout dépend de l'expression de f(x)...

@mtschoon
C’est pourtant un sujet d’examen !

@loicstephan
$f (x)$ est de la forme $x2−3x+6x−1\frac{x^2-3x+6}{x-1}$

Bonjour @loicstephan,

Cette fois, ton exercice a un sens.

Je t'indique la marche à suivre.

a ) Tu étudies les variations de la fonction f :
$D_f=D_f'=R$ \ {1}
$f′(x)=x2−2x−3(x−1)2f'(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$
Tu fais le tableau de variations sur $R$
Tu dois trouver que $f (3) = 3$ et que pour $x$ appartenant à $[3,+∞∣[3,+\infty|$ , la fonction $f$ est croissante et prend des valeurs de $3$ à $+∞+\infty$ c'est à dire $f(x)≥3f(x)\ge 3$

b ) Conséquence pour la récurrence :

Initialisation : $U_0=10$ donc $U0≥3U_0\ge 3$

Hérédité :

Hyphothèse : pour $\ge 0$ , $Un≥3U_n\ge 3$
Conclusion à démontrer : $Un+1≥3U_{n+1}\ge 3$

DEMONSTRATION
Pour $Un≥3U_n\ge 3$ , d'après l'étude des variations de $f$ , $f(Un)≥3f(U_n)\ge 3$
Or , $f(U_n)=U_{n+1}$ donc $Un+1≥3U_{n+1}\ge 3$
CQFD.

@mtschoon
Merci

@loicstephan , de rien !
J'espère que tu as bien compris la démarche.