la composée de deux isometries :

bonjour , ma question est la suivante : soit f la composée de 2 isométries ( une translation de vecteur U et une symétrie axiale d axe delta ) sachant que u est le vecteur normal a delta pouvons nous déterminer la nature de f ? ou faut il decomposer la transation et la symetrie axiale

@sali-sghaier , bonjour,

Tu trouveras une symétrie axiale, dans chacun des deux cas à étudier.

Pistes (à traiter avec soin, je t'indique que les pistes),

1er cas :

Soit $f=TU→oSΔ\boxed{f=T_{\overrightarrow{U}}oS_{\Delta}}$

Je te conseille de décomposer la translation en deux symétries axiales

$TU→=SD2oSD1T_{\overrightarrow{U}}=S_{D_2} o S_{D_1}$ avec $H1H2→=12U→\overrightarrow{H_1H_2}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{U}$ (voir cours)

Vu que $U→\overrightarrow{U}$ est normal à $(Δ)(\Delta)$ , les droites $D_1)$ et $D_2)$ sont parallèles à $(Δ)(\Delta)$

$f=SD2oSD1oSΔf=S_{D_2} o S_{D_1}oS_{\Delta}$

Tu choisis $(D1)=(Δ)(D_1)=(\Delta)$ . Tu places $D_2)$

Tu utilises la propriété d'associativité de la loi o

Tu trouves ainsi $f=S_{D_2}$ vu que $S_ {D_1}o S_{D_1}=Id$

2ème cas :

Soit $f=SΔoTU→\boxed{f=S_{\Delta}oT_{\overrightarrow{U}}}$

Même principe

$f=SΔoSD2oSD1f=S_{\Delta}oS_{D_2} o S_{D_1}$

Tu choisis $(D2)=(Δ)(D_2)=(\Delta)$ . Tu places $D_1)$

Tu utilises la propriété d'associativité de la loi o

Tu trouves ainsi $f=S_{D_1}$ vu que $S_ {D_2}o S_{D_2}=Id$