Exercice suites et somme

Bonjour, j'ai des exercice sur les suites à faire dont un avec quelques questions en rapport avec des sommes et je bute sur ce dernier... Le voici:
Soit $α\alpha$ et $β\beta$ 2 réels non nuls et distincts.
Soit U la suite définie par: $U_0=0$ , $U_1=1$ et pour tout n appartenant aux entier naturels, U(n+2)=( $α\alpha$ + $β\beta$ )(U(n+1))-( $α\alpha$ x $β\beta$ )Un et W la suite définie par:
pour tout n appartenant aux entier naturels Wn=(U(n+1))/( $α(n+1)\alpha^{(n+1)}$ )-(Un)/( $αn\alpha^n$ ).
a) Pour n >=1 simplifier la somme de k=0 à n-1 de Wk
b) Montrer que W est géométrique de raison $βα\dfrac{\beta}{\alpha}$ . En déduire Wn pour tout entier naturel n puis une nouvelle expression la somme de k=0 à n-1 de Wk pour n appartenant à N*
c) En déduire Un pour tout entier naturel non nul n.
Voila.
Le mélange des deux chapitres avec lesquelles j'ai déjà un peu de mal respectivement me perturbe complètement et bien que j'ai réussi facilement les exercices précédents dès le début de celui ci je ne sais pas quoi faire...
Merci pour le temps que vous m'accorderez !

Modification Latex, pour une meilleure lecture, par la modération.

Bonjour

Aide pour le début (a et partie de b)

a)

Wn=(U(n+1))/(a^(n+1)) - (Un)/(a^n) (avec a écrit pour alpha)

W0 = U1/a - U0/1
W1 = U2/a² - U1/a
W2 = U3/a³ - U2/a²
W3 = U4/a^4 - U3/a³
...
W(n-1) = Un/a^n - U(n-1)/a^(n-1)

Somme = U1/a - U0/1 + U2/a² - U1/a + U3/a³ - U2/a² + U4/a^4 - U3/a³ + ... + Un/a^n - U(n-1)/a^(n-1)

On simplifie ...

Somme = - U0/1 + Un/a^n

Somme = -0/1 + Un/a^n

Somme = Un/a^n

b)

W(n)=(U(n+1))/(a^(n+1)) - (Un)/(a^n)

W(n+1)=(U(n+2))/(a^(n+2)) - (U(n+1))/(a^(n+1))
W(n+1)=[(a+b)U(n+1) - ab*U(n)]/(a^(n+2)) - (U(n+1))/(a^(n+1))
W(n+1)=[(a+b)/a U(n+1) - bU(n)]/(a^(n+1)) - (U(n+1))/(a^(n+1))
W(n+1)=[(1 + b/a) U(n+1) - bU(n)]/(a^(n+1)) - (U(n+1))/(a^(n+1))
W(n+1)=[(b/a) U(n+1) - bU(n)]/(a^(n+1))
W(n+1)=(b/a) U(n+1)/(a^(n+1)) - bU(n)/(a^(n+1))
W(n+1)=(b/a) *U(n+1)/(a^(n+1)) - b/a * U(n)/(a^n)
W(n+1)=(b/a) * [U(n+1)/(a^(n+1)) - U(n)/(a^n)]
W(n+1)=(b/a) * W(n)

Et donc Wn est une suite géométrique de raison b/a et de 1er terme W(0) = (U(1))/(a^1) - (U0)/(a^0) = 1/a

---> Wn = ...

Essaie de comprendre ... et de finir le point b et attaquer le point c

Mets tes résultats sur le site ... il y aura bien un ou l'autre pour t'aider si cela coince.

(Rien relu et donc distraction(s) possible(s)).

Bonjour,
@gregory , la modération a eu la gentillesse de reécrire les $α\alpha$ , $β\beta$ guère lisibles dans ton énoncé.

Je t'indique comment tu aurais dû faire (et que tu pourras faire à l'avenir).

Tu les écris en Latex, c'est à dire :

Entre les balises $ et $, sans espaces, tu écris :
$ \alpha $ et tu obtiens : $α\alpha$
$ \beta $ et tu obtiens : $β\beta$

@gregory ,

Je t'indique ce que tu dois obtenir à la fin du b) et au c)

$W_n)$ étant la suite géométrique de raison $βα\dfrac{\beta}{\alpha}$ et de premier terme $W0=1αW_0=\dfrac{1}{\alpha}$ , avec la formule de la somme et après simplfications, tu dois trouver, sauf erreur :

$∑k=0n−1Wn=1−(βα)nα−β\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}W_n=\dfrac{1-\biggr(\dfrac{\beta}{\alpha}\biggr)^n}{\alpha-\beta}$

En identifiant les deux expressions trouvées pour cette somme, au final, tu dois obtenir, sauf erreur :

$Un=αn−βnα−βU_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$

Remarque :

Je pense que c'est la meilleure écriture à donner.
Tu peux mettre, bien sûr, $(α−β)(\alpha-\beta)$ en facteur au numérateur, ce qui te donnera une simplification par $(α−β)(\alpha-\beta)$ mais le résultat me semble guère pertinent... A toi de voir.

$Un=∑k=0n−1αn−1−kbk\displaystyle U_n=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^{n-1-k}b^k$

Reposte si tu bloques.

merci infiniment à tout les deux. J'avais continué de mon côté et j'avais finis par trouver la a) qui n'était pas si compliqué en fin de compte
pour la b) je trouve donc Wn= 1/a x (b/a)^n mais je ne comprends pas comment trouver la somme que vous obtenez
pour la c) je ne vois pas comment vous faites...
j'ai essayé d'écrire les alphas et beta comme vous me l'avez indiqué mais ça ne fonctionne pas sur mon ordi, ça renvoie tout simplement:
$ \alpha $

@gregory

Pour $α\alpha$ , ne mets pas d'espace entre \alpha et les $.

Bonjour,

@gregory , comme je te l'ai indiqué dans ma précédente réponse et que Noemi t'a rappelé, tu écris SANS espace entre $ et $
Ce n'est pas ton ordi qui pose probmème mais les espaces.

Tu écris $ collé à \alpha puis $ et tu obtiens $α\alpha$
Idem pour $β\beta$

effectivement, désole !

@gregory , je te rappelle la formule de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $W_0$ et de raison $q$

Ainsi, pour le b)
$S=W0×1−qn1−qS=W_0\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$

Cela te donne ici :

$S=1α×1−(βα)n1−βαS=\dfrac{1}{\alpha}\times \dfrac{1-\biggr(\dfrac{\beta}{\alpha}\biggr)^n}{1-\dfrac{\beta}{\alpha}}$

En multipliant des deux dénominateurs entre eux, tu obtiens la réponse que je t'ai indiquée précédemment.

@gregory , pour le c)

Tu utilise les deux valeurs obtenues au a) et au b)

Au a)

$S=UnαnS=\dfrac{U_n}{\alpha^n}$ d'où $Un=αnSU_n=\alpha^nS$

Au b)

$S=1−(βα)nα−βS=\dfrac{1-\biggr(\dfrac{\beta}{\alpha}\bigr)^n}{\alpha-\beta}$

D'où :

$Un=αn×1−(βα)nα−βU_n=\alpha^n\times \dfrac{1-\biggr(\dfrac{\beta}{\alpha}\bigr)^n}{\alpha-\beta}$

En mulptipliant les deux numérateurs entre eux, tu obtiens la réponse que je t'ai indiquée précédemment.

okay merci, comme je ne comprenais pas la b (car je ne connaissais pas cette formule) je ne comprenais pas non plus la c mais sinon c'était pas très dur...
Merci beaucoup !

De rien @gregory . c'est parfait si maintenant tu maîtrises le tout.

Si tu as besoin d'un cours sur les suites, je t'en mets un en lien.
Les suites géométriques sont traitées au IV, mais tu peux lire tout le document pour être sûr de connaître l'ensemble.

https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/

j'ai réussi les questions suivantes de l'exercice mais il en reste une, indépendante des autres, ou je ne comprends pas ce qu'il faut faire; la voici:
soit f la suite définie par F0=0 F1=1, pour tout n appartenant à N F(n+2)=F(n+1)+Fn. Expliciter Fn pour tout entier naturel non nul n.
Voila, merci d'avance !

@mtschoon ça marche merci je regarderai demain, c'est des trucs qui sont loins et que j'ai plus l'habitude de faire... je garde précieusement le lien

@gregory , ici, une discussion= un exercice.

A ta question :

soit F la suite définie par F0=0 F1=1, pour tout n appartenant à N F(n+2)=F(n+1)+F(n).
Je peux te dire qu'il s'agit de la suite de Fibonacci ( un classique !)

Expliciter Fn en fonction de n est aussi un classique : il s'agit de la formule de Binet
Tu peux faire des recherches sur le Web.
Par contre, que l'on te demande de trouver cette formule sans questions intermédiaires me laisse absolument perplexe...! ! !

Mais si tu as un exercice précis avec des questions précises , ouvre une autre discussion.

oui mais c'est le même exercice c'est pour ça que je l'ai laissé là et
c'est bon j'ai finalement trouvé comment faire, il fallait trouver $α\alpha$ et $β\beta$ tel que U(n+2)=F(n+2) et les remplacer dans l'expression de Un pour avoir Fn, fin je pense...
Il reste un exercice sur lequel je bloque un peu, je crée une nouvelle discussion.
En tout cas merci beaucoup pour toute l'aide que vous m'avez tous accordé!

OK @gregory
Tu as bien fait d'ouvrir une autre discussion.