exercice sur les suites

Bonjour, je bloque sur l'exercice suivant; merci par avance de votre aide !

Résoudre l'équation 1/(1+x)=x et noter $λ\lambda$ la solution positive
je trouve $λ\lambda$ = 1+sqrt(5)/2
Soit V la suite définie par V0=0 et V(n+1)=1/(1+Vn), suites à termes réels positifs.
a) en remarquant que pour tout n appartenant à N V(n+1)- $λ\lambda$ = 1/(1+Vn) - 1/(1+ $λ\lambda$ ) montrer par récurrence que la valeur absolue de (Vn- $λ\lambda$ ) est inférieur ou égale
à $λ\lambda$ (1/(1+ $λ\lambda$ ))^n
après avoir passé du temps dessus je n'arrive pas à le faire, même pas à remarquer le truc de base... cela doit entrer évident pourtant
b) en déduire la limité de Vn quand n tend vers +infini
j'ai besoin de la question précédente pour le faire donc je bloque aussi...
merci beaucoup, bonne soirée

Pour la question 2, l'hérédité, utilise la relation indiquée que tu réduis au même dénominateur puis tu écris la valeur absolue.

Bonjour,
mais je n'arrive pas à prouver ce qui est à prouver...

okay si c'est bon j'ai réussi à le prouver, je vais reprendre la récurrence je vous tiens au courant

non enfaite non je n'arrive pas à le prouver
j'ai dit que ce qui était à prouver marchait si $λ\lambda$ =1/(1+ $λ\lambda$ ) et que du coup ça revenait à résoudre l'équation précédente donc pour un tel $λ\lambda$ ça marche. Mais si je fais une application numérique avec la valeur de lambda, $λ\lambda$ n'est pas égale à 1/(1+ $λ\lambda$ ) donc ça marche pas...

@gregory

Tu dois partir de la relation :
$Vn+1−λ=11+Vn−11+λV_{n+1}-\lambda = \dfrac{1}{1+V_n}-\dfrac{1}{1+\lambda}$
Réduis le terme de droite au même dénominateur et détermine la valeur absolue.

C'est à dire ? Désolé je ne comprends vraiment pas la...
pour prouver ce qui est demandé je ne dois pas juste montrer que $λ\lambda$ = 1/1+ $λ\lambda$ ?

@gregory

Tu parles de quelle question ?

oui, la 2)a je ne comprends pas du tout

@gregory

Suis les indications que j'ai données.

c'est bon j'ai réussi merci

@gregory

Parfait si tu as terminé l'exercice.

il me manque la limite, j'ai du coup un encadrement de Vn - $λ\lambda$ donc par le théroème des gendarmes je devrais pouvoir trouver la limit en + infini mais comment négliger le $λ\lambda$ pour juste avoir Vn

par encadrement je trouve que Vn- $λ\lambda$ tend vers 0

Bonjour @gregory ,

Je ne fais que passer...

@gregory a dit dans exercice sur les suites :

par encadrement je trouve que Vn- $λ\lambda$ tend vers 0

Cela parait cohérent ; il ne reste qu'à conclure :

$lim⁡n→∞Vn=λ\displaystyle \lim_{n\to \infty}V_n=\lambda$

c'est à dire :
$lim⁡n→∞Vn=1+52\displaystyle \lim_{n\to \infty}V_n=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ (nombre d'or)

ah d'accord tout simplement, merci !

De rien @gregory
A+