Bonjour tout le monde, ça fait maintenant un bon moment que je bloque sur cette question si vous pouvez m'aider n'hésitez psq je dois rendre mon devoir le plus tôt possible . Merci d'avance !!!

Soit f la fonction définie sur J=[ 0;+∞[ par f(x)= 3- 1/X+1
a. Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variations de f sur J.
b. On considère la suite ( Un) définie pour tout entier n par Un+1= f(un) et U0= 5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que Un≥0 et déterminer le sens de variations de la suite (Un).
C. Démontrer que la suite (Un) converge
d. Déterminer la limite L de cette suite

@olivia-Morow , bonjour,

Tu devrais reécrire l'expression de f(x) car elle n'est pas claire...

@mtschoon 3 - (1/(x+1)) j'espere que c'est plus claire c'est 3 moins une fraction

@olivia-Morow
j’avais fait la (a) est jai trouvé
f(x)= 3- (1/(X+1) )donc
f'(x)= 1/ (X+1)^2 > 0
donc f est croissante.
il me reste alors la b,c et d a faire mais j'y arrive pas.

@olivia-Morow , merci d'avoir précisé l'expression de f(x)

OK pour le a )
f est strictement croissante de $[0,+∞[[0,+\infty[$ vers $[2, 3 [$

Piste pour démarrer la b )

Pour démontrer par récurrence que $Un≥0U_n\ge 0$

Initilisation : $U_0=5$ donc $U0≥0U_0\ge 0$

Hérédité : hypothèse à un ordre n de $N$ : $Un≥0U_n\ge 0$

Il faut prouver que $Un+1≥0U_{n+1}\ge 0$

Démonstration :

f étant croissante, l'ordre est respecté :

$Un≥0U_n\ge 0$ donc $f(Un)≥f(0)f(U_n)\ge f(0)$

Or, $f(U_n)=U_{n+1}$ et $f (0) = 2$

Donc $Un+1≥2U_{n+1}\ge 2$ donc à forciori : $Un+1≥0U_{n+1}\ge 0$

CQFD

Utilise la même démarche pour trouver le sens de variation de la suite $U_n)$ (décroissante)

@olivia-Morow ,

je te mets un petit résumé de ce que tu dois trouver (seulement un résumé, il faut tout expliciter)

Pour démontrer par récurrence le sens de variation de $U_n)$

Initalisation:
$U_0=5$ et $U1=176U_1=\dfrac{17}{6}$ donc $U1≤U0U_1\le U_0$

Hérédité :
$Un+1≤UnU_{n+1}\le U_n$ => $f(Un+1)≤f(Un)f(U_{n+1})\le f(U_n)$ ,
c'est à dire $Un+2≤Un+1U_{n+2}\le U_{n+1}$
D'où la conclusion sur le sens de variation.

La suite $U_n)$ est donc décroissante et minorée par 0 donc convergente (voir le cours)

Soit l la limite
l est solution de $l=3−1l+1l=3-\dfrac{1}{l+1}$ (voir le cours)

Nécessairement l est un nombre positif.
En résolvant cette équation sur $R +$ , on trouve, sauf erreur $l=1+3l=1+\sqrt 3$

Bon travail.

Reposte si besoin.