Besoin d'aide pour suite numérique

Bonsoir svp un coup de main :
On donne la suite $U_n$ = $2+Un−1\sqrt{2+U_{n-1}}$ et $U_0=0$ .
1-a) Montrer que $U_n$ est croissante et majorée.
1-b) Calculer la limite de cette suite.

@Wil-Fried

$U_n$ est croissante Ssi $U_{n+1}$ supérieur ou égale à $U_n$ Cherches $U_{n+1}$

@loicstephan
Montre que $U_1$ Plus grand ou égal à $U_0$

@loicstephan J'ai fais une démonstration par récurrence et j'ai réussi à démontrer que $U_{n+2}$ > OU = $U_{n+1}$

@Wil-Fried On me demande d'étudier la suite $U_n$ = somme de n/(n²+k), k allant de 1 à n.
On pourra passer par un encadrement.

Bonjour,

@Wil-Fried , ici, un exercice=un topic

Si tu as besoin d'aide, ouvre une autre discussion pour ton second exercice.

Je regarde ton exercice de départ :
Suite définie par $U_0=0$ et $Un=2+Un−1U_n=\sqrt{2+U_{n-1}}$

Si j'ai bien lu ce que tu as indiqué, tu as fait une démonstration par récurrence pour prouver que $U_n)$ est croissante , donc c'est bon.

Ensuite, tu dois prouver que la suite est majorée.
En calculant les premiers termes, tu peux conjecturer, par exemple, que cette suite est majorée par 2, c'est à dire que pour tout n de $N$ , $Un≤2U_n\le 2$
Avec une récurrence très simple, tu peux le prouver.

Conséquence : $U_n)$ est croissante et majorée donc convergente
Soit l sa limite.
Par passage à la limite (voir cours) de $Un=2+Un−1U_n=\sqrt{2+U_{n-1}}$ , tu peux déduire que l vérifie l'équation : $l=2+ll=\sqrt{2+l}$
$U_n)$ est une suite à termes positifs (tu le justifies facilement) donc $l≥0l\ge 0$
Par élévation au carré :
$l^2=2+l$ <=> $l^2-l-2=0$

Equation du second degré
Solutions dans $R$ : $l = - 1$ et $l = 2$
Solution desn $R^+$ : $l = 2$

Donc $lim⁡n+∞Un=2\boxed{\displaystyle \lim_{n+\infty}U_n=2}$

Reposte si besoin.