Trigonométrie: système de 2 équations

Bonjour j'ai un devoir de maths à remettre mais je ne comprends pas cet exercice

On considère le système d'équations :
(S) {cos x cos y= (V3+1)/4
{sin x sin y= (V3 -1)/ 4

Démontrer que le système (S) est équivalent au système suivant :
(S') {Cos(x+y)=1/2
{Cos(x-y)=V3/2
Résoudre (S).
Où V correspond à racine
Je bloque à la dernière question merci de m'aider

voilà ce que j'ai commencé à faire cos( x + y )= 1/2 => cos( x+ y )= cos(pi/3)
Cos(x-y)=V3/2 => cos(x-y)=cos(pi/6)
x+y= pi /3 +k2 pi
x-y= pi/ 6 +K2 pi
Ou
x+y= -pi / 3 +k2pi
x - y= -pi/6 + k 2pi
Ou
x+y= pi / 3 +k2pi
x- y= -pi/ 6 +K2pi
Ou
x+y= -pi /3 +k2 pi
x-y= pi / 6 +k2 pi
Suis-je sur la bonne voie?

@Aifasse , bonjour,
Tu es tout à fait sur la bonne voie.
Tu as bien ces 4 cas à étudier.

Seulement une remarque dans les écritures des 4 systèmes à résoudre.
Evite de mettre $2kπ2k\pi$ dans chacune des deux équations car on pourrait penser que ces forcément la même valeur de $k$
Ecris plutôt, par exemple, $2k1π2k_1\pi$ et $2k2π2k_2\pi$ ou bien tu mets $[2π][2\pi]$ si tu as l'habitude.

@mtschoon donc pour chacune des solutions les k obtenus sont différents ?

Dans la résolution je trouve aussi que les 2kpi du y s'annulent. est-ce que c'est normal ?

@Aifasse , tout à fait.
Les $k$ sont des valeurs quelconques.
les $2kπ2k\pi$ ne s'annulent pas. c'est pourquoi je te conseillais de mettre $k_1$ et $k_2$

@mtschoon D'accord je ne l'aurais jamais su merci pour la précision

@Aifasse , de rien et bonne trigonométrie.