Exercice sur les suites récurrentes

Bonjour j'ai une question toute bête pour un exo mais je n'arrive pas à trouver comment faire; la voici:

Montrer que les conditions U0=1 et U(n+1)=Un + (1/Un) définissent bien une suite U avec Un>=1. je l'ai montré par récurrence
Montrer que lim en +inf = +inf . je ne sais pas comment faire...
Merci d'avance de l'aide que vous m'apporterez pour la q2.

Si $U_n$ tend vers $+∞+\infty$ , $1Un\dfrac{1}{U_n}$ tend vers .....
donc $U_{n+1}$ tend vers ....

oui j'avais pensé à ça mais ici on suppose déjà que Un tend vers +infini or c'est à montrer mais j'ai trouvé un autre moyen c'est bon !
Merci.

Bonjour,

Effectivement , supposer que $U_n$ tend vers $+∞+\infty$ pour prouver que la suite $U_n)$ tend vers $+∞+\infty$ est .............!

@gregory , tu n'indiques pas ton "moyen" pour répondre à la question, alors, je t'indique quelques pistes éventuelles.

Tu as prouvé que pour tout $n$ de $N$ , $Un≥1U_n\ge 1$ donc $1Un>0\dfrac{1}{U_n}\gt 0$

Or, $Un+1−Un=1UnU_{n+1}-U_n=\dfrac{1}{U_n}$ , donc $Un+1−Un>0U_{n+1}-U_n\gt 0$
La suite $U_n)$ est strictement croissante.

Il y a deux possibilités : ou bien $U_n$ ) converge vers une limite finie $l$ $\ge 1)$ , ou bien $U_n)$ tend vers $+∞+\infty$

Si $U_n)$ définie par $Un+1=Un+1UnU_{n+1}=U_n+\dfrac{1}{U_n}$ convergeait vers $l$ , $\ge 1)$ , $l$ serait solution de $x=x+1xx=x+\dfrac{1}{x}$

On résous cette équation sur $[1,+∞[[1,+\infty[$
En multipliant par $x$ (non nul, vu que $x≥1)x\ge 1)$ :
$x=x+1xx=x+\dfrac{1}{x}$ <=> $x^2=x^2+1$ Impossible.

Conclusion : $U_n)$ ne peut pas avoir de limite finie.
Vu qu'elle est strictement croissante, elle tend vers $+∞+\infty$

$lim⁡n→+∞Un=+∞\boxed{\displaystyle\lim_{n\to +\infty}U_n=+\infty}$

CQFD.

Bon travail.