Analyse : Une seule droite tangente à la courbe

Bonjour je ne sais pas comment faire cet exercice. Je ne sais pas si ma démarche est la bonne. Cet exercice mélange les chapitres Dérivabilité ; Convexité/Continuité.

Soit f une fonction définie sur ]0.5 ; plus l'infini [ par f(x)= ✓(2x-1) et C sa courbe représentative dans un repère du plan. Démontrer qu'il n'existe qu'une seule et unique droite qui soit Tengente à C et qui passe par l'origine.

J'ai d'abord dérivée la fonction f puisqu'on étudié sa Tengente. f'(x) = -1/ ✓(2x-1). L'ensemble de définition de f' est R {1/2}.
Puis je pense qu'il faut écrire l'expression réduite de la Tengente à la courbe. Ta : y= f'(a)(x-a)+f(a)
Après je ne sais pas quoi faire : S'il faut étudier la convexité de f grâce au sens de variation de f' ?

Merci de votre aide

@Jérémie , bonjour,

Revois la dérivée. Tu dois trouver (après simplification par 2) $f′(x)=12x−1f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}$

Revois l'ensemble de définition de $f^{'}$

$2x−1>02x-1\gt 0$ <=> $x>12x\gt \dfrac{1}{2}$

f est dérivable sur $]12,+∞[]\dfrac{1}{2},+\infty[$

L'équation de la tangente en $a$ est bien :

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

$y=12a−1(x−a)+2a−1y=\dfrac{1}{\sqrt{2a-1}}(x-a)+\sqrt{2a-1}$

Pour que la tangente passe par l'origine, pour $x = 0$ , $y = 0$

$0=12a−1(−a)+2a−10=\dfrac{1}{\sqrt{2a-1}}(-a)+\sqrt{2a-1}$

Tu as une équation d'inconnue $a$ à résoudre.

Essaie de poursuivre.

@mtschoon

La dérivée est bien 1/✓(2x-1)
Ta : y = f'(a)(x-a)+f(a)
Soit pour x=0 et y= 0 :
1/✓(2a-1) * (-a) + ✓(2a-1) = 0
Équivalent à -a/✓(2a-1) + ✓(2a-1) = 0
Équivalent à -a +2 ✓(a-1) /✓(2a-1) = 0
Équivalent à a-1/ ✓(2a-1) = 0
✓(X) est toujours > 0 en plus c'est le dénominateur
Donc a-1 = 0 soit a=1

Je fais quoi de ce résultat ?

@Jérémie

Si on remplace a par 1 on obtient la droite d'équation y=x qui est la Tengente à la courbe au point d'abscisse 1.
Je ne suis pas sûr que ce soit cohérent ?

@Jérémie ,

Ton calcul est bon.
C'est bien $a = 1$

Il te reste à remplacer $a$ par $1$ dans l'équation de la tangente ;
Sauf erreur, tu dois trouver $y = x$

Illustration graphique :
La courbe est en rouge
La tangente est en bleu.

@Jérémie

Nos réponses se sont croisées...

C'est cohérant.
Regarde la représentation graphique.

@mtschoon
D'accord Merci de m'avoir débloqué

@Jérémie , de rien !
A+