Petit question sur ln

Bonjour,
Mon prof m’a demandé de « majorer l’erreur commise si on remplace ln(100001) par 5ln(10) » mais je n’ai aucune idée. Quelqu’un en aurait une ?
Merci beaucoup et bonne soirée !

@gregory Bonjour,

En quelle classe es-tu ?
Utilise la calculatrice
$l n (100001) = . . . .$
$5 l n (10) = . . . .$
$l n (100001) - 5 l n (10) = . . . .$

@Noemi
Maths sup… je n’ai pas le droit à la calculatrice ce serait trop facile

Je pense que je dois majorer ln(100001)-ln(100000) mais une fois là je ne vois pas comment majorer ça…

@gregory

La prochaine fois poste dans supérieur.

Utilise l'approximation d'une fonction :
$f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)\epsilon(x)$

Mais comment l’utiliser dans ce cas précis, je n’ai jamais vus ça désolé…
Et oui pardon !

@gregory

Tu n'as jamais vu la définition du nombre dérivée ?

Sisi mais je ne vois pas le rapport avec la question

J’ai saisi c’est bon merci beaucoup !

@gregory

Tu as calculé la différence ?

Bonjour,

En supérieur, tu as du voir le développement de ln(1+x)

ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ... (-1)^(n+1)*x^(n+1) /n + ...
qui est convergente pour x dans ]-1 ; 1[

Or ln(100001) - 5ln(10) = ln(1,00001) donc ln(1 + x) avec x = 0,00001

ln(100001) - 5ln(10) = 0,00001 - 0,00001²/2 + 0,00001³/3 + ...

et par le théorème de leibniz sur les séries alternées, on peut dire que la série est convergente et que l'erreur faite en arrêtant la série après un certain nombres de termes est inférieure en valeur absolue au premier terme négligé et que l'erreur a le signe de ce dernier terme négligé.

Donc, on peut par exemple dire que ln(100001) - 5ln(10) = 0,00001 avec une erreur < 0,00001²/2 et que cette erreur donne la valeur par excès.

Et si on veut plus de précision, on peut dire :
ln(100001) - 5ln(10) = 0,000001 - 0,00001²/2 avec une erreur < 0,00001³/3 et que cette erreur donne la valeur par défaut.

Et si on veut encore plus de précision ... on s'arrête un peu plus loin dans le nombre de termes.