SVP j ai besoin d aide dans un exercice d isométrie

Bonjour
j ai des difficultés a repondre a la question suivante
Énoncé
ABCD un carre direct
E un point de [AB] prive de A et B
la droite parallele a (BD) et passante par E coupe la droite (BC) en F
E=R(D,pi/2)(G)
soit g=S(BD)oSc
H=S(BD) (G)
L=Sc(H)
Montrer que (BD) est la mediatrice de [LF]?

@Mariem-jabloun , bonjour,
Visiblement, tu n'as pas donné ton énoncé en entier.
Il semble que ce soit la fin d'un exercice.
g=S(BD)oSc n'aide guère...

Il y a certainement des résultats trouvés aux questions précédentes utiles pour celle que tu poses. Dommage...

Alors, je te donne des pistes, mais incomplètes...

Schéma :
(le cercle est seulement un outil de constrution; il ne sert pas pour la démonstration)

isométries.jpg

@Mariem-jabloun

Pour répondre à ta question "(BD) est la médiatrice de [LF]" , il faut trouver que $L=S(BD)(F)\boxed{L=S_{(BD)}(F)}$ en "jonglant" avec les transformations...

Remarque : comme la loi o est associative, je ne mets pas de parenthèses pour alléger les écritures.

Pistes,
$L=S_C(H)=S_CoS_{(BD)}(G)$
Or, graphiquement, on constate que $G$ est le symétrique de $F$ par $S_A$
J'imagine que cela a été prouvé dans une question précédente.
Donc :
$L=S_C(H)=S_CoS_{(BD)}oS_A(F)$
$S_C$ peut se décomposer en deux symétries axiales.
Soit $(d)$ la droite passant par $C$ et perpendiculaire à $(A C)$
$S_C= S_{(d)}oS_{(AC)}$
Donc :
$L=S_C(H)=S_{(d)}o S_{(AC)}oS_{(BD)}oS_A(F)$
Or,
$S_{(AC)}oS_{(BD)}=S_O$
Donc
$L=S_C(H)=S_{(d)}\ o \ S_O \ o\ S_A(F)$
Or,
$SA=TAC→=S(d)oS(BD)S_O \ S_A=T_{\overrightarrow{AC}}=S_{(d)}oS_{(BD)}$
J'imagine aussi que cela a été prouvé dans une question précédente.
Donc :
$L=S_C(H)=S_{(d)}oS_{(d)}oS_{(BD)}(F)$
Or,
$S_{(d)}oS_{(d)}=Id$ (application identique)

Au final :
$L=S(BD)(F)\boxed{L=S_{(BD})(F)}$
(BD) est médiatrice de [LF]

Revois tout ça de près et complète ce qui a été dit mais pas démontré dans ces calculs, mais qui doit être fait dans les questions précédentes..

@mtschoon a dit dans SVP j ai besoin d aide dans un exercice d isométrie :

@Mariem-jabloun , bonjour,
Visiblement, tu n'as pas donné ton énoncé en entier.
Il semble que ce soit la fin d'un exercice.
g=S(BD)oSc n'aide guère...

Il y a certainement des résultats trouvés aux questions précédentes utiles pour celle que tu poses. Dommage...

Alors, je te donne des pistes, mais incomplètes...

Schéma :
(le cercle est seulement un outil de constrution; il ne sert pas pour la démonstration)

Bonjour,

Juste pour savoir ...

Les notations utilisées ici sont différentes de celles que j'utilisais il y a plusieurs décennies et donc, pour être sûr :

Que signifie (avec des mots) : E=R(D,pi/2)(G)

J'aurais pensé que cela signifiait que E se trouvait par la rotation d'un angle Pi/2 du point G autour du point D.

Mais si c'est le cas, alors il y a un soucis, car la rotation de + Pi/2 devrait être dans le sens anti-horlogique (sens positif conventionnel)

Et ton dessin, pour retomber sur le point E, fait tourner G de Pi/2 autour de D dans le sens horlogique.

C'est très probable que cette incompréhension vient de moi ou plutôt des notations actuelles qui ne collent pas avec celles qu'on m'a enseignées il y a très longtemps.

Bonjour,

Contente que tu t'intéresses au graphique @Black-Jack

J'explicite,

$E=R(D,π2)(G)\boxed{E=R(D, \dfrac{\pi}{2})(G)}$
Cela signifie que l'image de $G$ est $E$ par la rotation d'angle $π2\dfrac{\pi}{2}$ ***(sens "trigonométrique", inverse des aiguilles d'une montre)
$[2π](\overrightarrow{DG},\overrightarrow{DE})=+\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$

donc, réciproquement :

$G=R(D,−π2)(E)\boxed{G=R(D, -\dfrac{\pi}{2})(E)}$
Cela signifie que l'image de $E$ est $G$ par la rotation (réciproque de la précédente) d'angle $−π2-\dfrac{\pi}{2}$
$[2π](\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DG})=-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$

Connaissant $E$ sur $] A B [$ (par hypothèse), c'est ainsi que se place $G$ (avec cette rotation "réciproque" d'angle $−π2-\dfrac{\pi}{2}$ )

C'est ce qui a été fait dans le graphique, correspondant à l'énoncé donné.

Bonne journée !

@mtschoon a dit dans SVP j ai besoin d aide dans un exercice d isométrie :

Bonjour,

Contente que tu t'intéresses au graphique @Black-Jack

J'explicite,

$E=R(D,π2)(G)\boxed{E=R(D, \dfrac{\pi}{2})(G)}$
Cela signifie que l'image de $G$ est $E$ par la rotation d'angle $π2\dfrac{\pi}{2}$ ***(sens "trigonométrique", inverse des aiguilles d'une montre)
$[2π](\overrightarrow{DG},\overrightarrow{DE})=+\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$

donc, réciproquement :

$G=R(D,−π2)(E)\boxed{G=R(D, -\dfrac{\pi}{2})(E)}$
Cela signifie que l'image de $E$ est $G$ par la rotation (réciproque de la précédente) d'angle $−π2-\dfrac{\pi}{2}$
$[2π](\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DG})=-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$

Connaissant $E$ sur $] A B [$ (par hypothèse), c'est ainsi que se place $G$ (avec cette rotation "réciproque" d'angle $−π2-\dfrac{\pi}{2}$ )

C'est ce qui a été fait dans le graphique, correspondant à l'énoncé donné.

Bonne journée !

Merci ...

J'ai souvent du mal à raccrocher les notations utilisées à mon époque (bien lointaine et pas en France) avec celles utilisées aujourd'hui.

La symbolique c'est peut-être beau, mais c'est dommage qu'elle n'est pas universelle. (pas que pour cela, essaie d'utiliser toute la symbolique mathématique européenne outre atlantique ... elle y est inconnue).

J'ai d'ailleurs remarqué en consultant de multiples sites que la plupart préfèrent les phrases à la symbolique, c'est moins concis mais tellement plus clair pour ceux qui ne manipulent pas ces notations fréquemment.

Bonne journée

@mtschoon
Bonjour
Et merci beaucoup
oui c est indiqué de montrer que A est le milieu de [GF]
mais ce n est pas demandé de trouver que SooSA=tr=T de vecteur AC

De rien @Mariem-jabloun,

Pour la translation de vecteur $AC→\overrightarrow{AC}$ je pense que tu n'auras pas de problème pour la justification, vu qu'il s'agit de la composée deux symétries axiales avec des axes de symétrie parallèles , perpendiculaires à (AC) (voir cours).

Bon travail !

Une autre fois, donne l'énoncé entier, même si c'est seulement la fin qui te pose problème, pour pouvoir mieux t'aider.