Vecteurs orthogonaux..

[Mary]

Bonjour, je ne parviens pas à faire cette question, merci de m'aider..
On se place dans un plan muni d'un repère orthonormal (O;i;j)
On considère les vecteurs u (cos t; sin t) et v ( 2 sin t, 2 cos t), t appartient à R.
a) Calculer t pour que u et v soient orthonormaux.

[Zauctore]

salut.

de façon générale, comment reconnais-tu que deux vecteurs u${}^{\to }$ et v${}^{\to }$ sont orthogonaux ?

[Mary]

Je sais que deux vecteurs sont orthogonaux si le total des produits de leurs abscisses et de leurs ordonnées est égal à 0.
Mais je ne trouve pas la solution..

[Zauctore]

en effet : leur produit scalaire doit être nul.
en repère orthonormé, on le calcule ainsi que tu le dis plus ou moins
u${}^{\to }$. v${}^{\to }$ = (cos t)(2 sin t) + (sin t)(2 cos t)
= 4 cos t sin t.

ainsi, le produit scalaire est nul pour les valeurs de t qui rendent nuls sin t ou cos t.

à toi de dire lesquelles.

[Mary]

Est-ce que l'on peut dire :
cos t. 2 sin t = 2 cos t. sin t = sin 2t
On a alors 2 sin 2t = 0 ou sin 2 t = 0
Les solutions sont alors :
soit t = 0 + k pi
soit t = pi/2 car 2 t = pi
Est-ce que j'ai bon ?

[Zauctore]

l'égalité 4 cos t sin t = 2 sin (2t) est juste.

on a généralement sin u = 0 lorsque u = k $pi$, k app/ Z.

ainsi, sin (2t) = 0 equiv/ k $pi$/2, k app/ Z.

ce sont donc les valeurs : ... ; -3$pi$/2 ; -$pi$ ; -$pi$/2 ; 0 ; $pi$/2 ; $pi$ ; 3$pi$/2 ; ...

[Mary]

Merci !