Trigonométrie maths spe

[mik16]

1. On sait que 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 et que 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 1/3 Déterminer 𝑠𝑖𝑛 (𝑥).
2. On sait que 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 et que 𝑠𝑖𝑛(𝑥) = − 1 / racine de 3. Déterminer 𝑐𝑜s (𝑥)
   1 – (cos⁡x )^2+(sin⁡x )^2=1
   ⇔(1/3)^2+(sin⁡(x)²)= 1
   ⇔(sin⁡(x)²=1-(1/3)²)
   ⇔(sin⁡(x)²=1- 1/9)
   ⇔(sin⁡(x)²= 9/9) - 1/9
   ⇔(sin⁡(x)²= 8/9)
   ⇔sin⁡(x= √(8/9)) ou sin⁡(x= - √(8/9))
   = (2√2)/3 = - (2√2)/3
   ≈0.94 ≈ - 0.94

2 – (cos⁡x )^2+(sin⁡x )^2=1
⇔(cos⁡〖x)²+(-1/√3)²=1〗
⇔(cos⁡〖x)²+ 1/3=1〗
⇔(cos⁡〖x)²=1- 1/3〗
⇔(cos⁡〖x)²= 3/3〗 - 1/3
⇔(cos⁡〖x)²= 2/3〗
⇔cos⁡〖x= √(2/3)〗 ou cos⁡〖x= - √(2/3)〗
Bonjour, pouvez-vous me dire si cela est correct ? Car je ne sais pas ce que je dois faire avec ''0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋'' et ''𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋''.
Merci d'avance

[Noemi]

@mik16 Bonsoir (marque de politesse à ne pas oublier !!)

L'intervalle pour $x$ permet de déterminer la solution entre la valeur positive ou négative.
Place les valeurs sur le cercle trigonométrique ou détermine le signe à partir des données de l'énoncé.

Attention à la rédaction, par exemple, les crochets dans le deuxième calcul.

[mik16]

Merci, du coup la solution est celle positive ? Étant donné que 𝜋 et 2𝜋 sont positifs?

[Noemi]

@mik16

Ce n'est pas la justification.

Pour $0\le x\le \pi$ et $cos(x)>0$ alors $sin(x)>0$
donc
pour $cos(x)=\frac{1}{3}$, $sin(x)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Pour $\pi \le x\le 2\pi$ et $sin(x)<0$ alors $-1\le cos(x)\le 1$
donc
....

[mtschoon]

Bonjour,

@mik16 ,
Une remarque sur ta façon d'écrire.

Regarde comment écrit @Noemi

Tu ne mets pas les parenthèses au bon endroit.
L'écriture sin⁡(x= √(8/9)) est fausse vu que ce n'est pas x qui vaut √(8/9), c'est le sinus de x
Tu dois écrire sin(x)=√(8/9) , ou tout simplement, vu qu'il n'y a pas d'ambiguïté, sin x =√(8/9).
Fais comme ton professeur à l'habitude.

je vais te joindre deux schémas , chacun correspondant à une de tes questions.
Le cercle trigonométrique est l'outil de la trigo.
Je te conseille de faire les schémas, pour comprendre , avant de faire les calculs.
Les schémas te permettent d'avoir le signe du sinus et/ou du cosinus souhaité et les valeurs approchées;
Bien sûr, seuls les calculs permettent d'avoir les valeurs exactes.

[mtschoon]

Pour la question 1.

$x$ est une mesure de l'angle $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})$ donc M est forcément sur le demi-cercle rouge.

Pour placer M :
Sur l'axe des abscisses, tu places le point H d'abscisse $\frac{1}{3}$
Par H, tu traces la droite perpendiculaire à l'axe des abscisse qui coupe le demi-cercle rouge en M.
Le projeté de M sur l'axe des ordonnées est K
Le sinus cherché est l'odonnée de M , c'est à dire $\overline{OK}$ qui est positive.
Par lecture graphique : $sin(x)\approx 0.94$
Le calcul t'a permis d'avoir la valeur exacte : $sin(x)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

[mtschoon]

Pour la question 2. Même principe

$x$ est une mesure de l'angle $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})$
donc les points M sont forcément sur le demi-cercle rouge.

Pour placer les points M :
Sur l'axe des ordonnées, tu places le point K d'ordonnée $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (voisine de $-0.577$)

​Par K, tu traces la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses qui coupe le demi-cercle rouge en $M_1$ et $M_2$
Les projetés de $M_1$ et $M_2$ sur l'axe des abscisses sont respectivement $H_1$ et $H_2$

Le cosinus cherchés sont les abscisses de $H_1$ et $H_2$, c'est à dire $\overline{O{H}_1}$ et $\overline{O{H}_2}$ .
Une est positive et l'autre est négative( et elles sont opposées)

Par lecture graphique :
$cos(x)\approx -0.81$ ou $cos(x)\approx +0.81$
Les calculs permettent d'avoir les valeurs exactes :
$cos(x)=-\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ ou $cos(x)=+\sqrt{\frac{2}{3}}=+\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bonnes constructions.