exercice polynome prépa

Bonjour, j'ai une question assez bête mais à laquelle je n'arrive pas à répondre :
Pn= (1/2i)((X+i)^2n+1 - (X-i)^2n+1). Justifier que ce polynome est de degré 2n.
Merci pour votre aide !
Bonne journée.

@gregory Bonjour,

Ecris la forme développée du polynôme.
$(X+i)2n+1=∑p=02n+1C2n+1pipX2n+1−p(X+i)^{2n+1} = \displaystyle\sum_{p=0}^{2n+1}C_{2n+1}^p i^pX^{2n+1-p}$

bonjour, merci pour votre réponse mais je ne comprends pas cette écriture.
Cela ne devrait pas donner, pour (X+i)^2n+1: $∑k=02n+1\displaystyle\sum_{k=0}^{2n+1}$ (k parmis n) $X^k$ i^(2n+1-k) ?

je ne comprends pas bien votre C, de plus je ne vois pas comment faire pour transformer le (X-i)^2n+1... c'est tout bête je sais mais j'ai cherché un moment et je sèche...

Bnnjour,

@gregory , je ne sais pas si ce sera clair pour toi mais regarde ici le PROBLEME 1 et sa correction.
http://dehame.free.fr/math/pcsi/pdf01/dm6.pdf

(formule du binome, bien sûr )

Notation :
$C_n^k$ se note aussi $(nk){n}\choose{k}$ (combinaisons de k éléments pris parmi n)

bonjour, merci mais il reste le problème du C que je ne comprends pas... que représente-il ?

@gregory , regarde ma réponse que je viens de compléter
(les réponses se sont croisées)

ah oui je comprends mieux merci beaucoup ! Dernière question, comment justifier proprement que les termes d'indices pairs s'annulent et que ceux d'indice impairs se doublent ? (ce que je comprends parfaitement)

@gregory

Pour l'expliquer, écris le début du développement de
$X+i)^{2n+1}=....$ et
$X-i)^{2n+1}=....$ et

oui c'est fait, après je dis juste que pour k pair i^k = (-i)^k = 1 d'ou les deux sommes s'annulent alors que dans le cas inverse, quand k impair i^k=-i et (-i)^k = i d'ou la différence donne 2x.... ?

c'est bon je me suis débrouillé.
Merci beaucoup à tout les deux !