Étude d'une suite et convergence


  • Jérémie

    Bonjour j'ai un exercice à faire et je n'arrive pas pourriez vous s'il vous plaît m'aider.

    On considère la fonction f définie sur [1; + infinie [ par f(x)=x²/2x-1

    1. a. Dresser les variations de f sur [1;+infini[
      J'ai dérivée puis j'ai trouvé grâce au signe
      positif de la dérivée que f est croissante
      b. En déduire que pour tout réel x≥1, f(x)≥1
      La fonction étant croissante sur cet intervalle,
      son minimum en 1 est 1 et elle a pr lim +infini
      elle est donc tjr ≥1
    2. Soit (Un) la suite définie par U0 =2 et pour tout
      entier naturel n : Un ² / 2Un-1
      a. Démontrer que la suite est décroissante est
      minorée.
      Pour ces deux dernières questions je sais qu'il
      faut utiliser à un moment le théorème de
      convergence mais je ne voit pas comment
      montrer cette question peut être par
      récurrence mais je n'arrive pas non plus
      b. En déduire que la suite (Un) est convergente et
      déterminer sa limite

    Merci de votre aide et réponses


  • mtschoon

    @Jérémie , bonjour,

    Je regarde ton énoncé

    @Jérémie a dit dans Étude d'une suite et convergence :

    On considère la fonction f définie sur [1; + infinie [ par f(x)=x²/2x-1

    a. Dresser les variations de f sur [1;+infini[
    J'ai dérivée puis j'ai trouvé grâce au signe
    positif de la dérivée que f est croissante
    b. En déduire que pour tout réel x≥1, f(x)≥1
    La fonction étant croissante sur cet intervalle,
    son minimum en 1 est 1 et elle a pr lim +infini
    elle est donc tjr ≥1
    Soit (Un) la suite définie par U0 =2 et pour tout
    entier naturel n : Un ² / 2Un-1
    a. Démontrer que la suite est décroissante est
    minorée.
    Pour ces deux dernières questions je sais qu'il
    faut utiliser à un moment le théorème de
    convergence mais je ne voit pas comment
    montrer cette question peut être par
    récurrence mais je n'arrive pas non plus
    b. En déduire que la suite (Un) est convergente et
    déterminer sa limite

    Je pense que tu as voulu écrire : Un+1=Un22Un−1U_{n+1}=\dfrac{U_n^2}{2U_n-1}Un+1=2Un1Un2
    c'est à dite Un+1=f(Un)U_{n+1}=f(U_n)Un+1=f(Un)

    Pour démontrer que la suite est décroissante, tu peux faire un raisonnement par récurrence en utilisant le sens de variation de la fonction f ( qui a été étudiée pour ça)

    Initialisation
    U0=2U_0=2U0=2.
    Tu calcules U1U_1U1 et tu trouves U1≤U0U_1\le U_0U1U0

    Hérédité
    Pour n≥0n\ge 0n0, tu supposes Un+1≤InU_{n+1}\le I_nUn+1In
    Tu démontres que Un+2≤Un+1U_{n+2}\le U_{n+1}Un+2Un+1

    Piste de la démonstation
    Un+1≤UnU_{n+1}\le U_nUn+1Un vu que f est croissante, elle conserve le sens des inégalités : f(Un+1)≤f(In)f(U_{n+1})\le f(I_n)f(Un+1)f(In) donc
    Un+2≤Un+1U_{n+2}\le U_{n+1}Un+2Un+1

    Tu appliques le même principe de raisonnement pour démontrer que (Un)(U_n)(Un) est minorée par 1, c'est à dire que , pour tout n de NNN, Un≥1U_n\ge 1Un1

    Tu tires les conclusions.

    Reposte si besoin.


  • Jérémie

    @mtschoon

    Merci de m'avoir éclairé. J'avais déjà fait l'initialisation et le début de l'hérédité. Pour la démonstration, on est bien d'accord qu'il suffit de :
    (1) d'exploiter l'hypothèse de récurrence en écrivant que Un+1 ≤Un
    (2) la fonction associée à la suite est celle étudiée au début d'exercice elle est donc croissante donc conservation du sens d'inégalité.
    f(Un+1)≤f(Un)
    (3) on a bien l'hérédité avec Un+2 ≤Un+1


  • Jérémie

    @Jérémie
    Je ne voit pas comment montrer que Un≥1


  • mtschoon

    @Jérémie ,

    Comme je t'ai dit, tu fais pareil

    Initialisation U0=2U_0=2U0=2 donc U0≥1U_0\ge 1U01

    Pour l'hérédité (redige avec soin)

    Un≥1U_n\ge 1Un1 => f(Un)≥f(1)f(U_n)\ge f(1)f(Un)f(1)
    Or, f(Un)=Un+1f(U_n)=U_{n+1}f(Un)=Un+1 et f(1)=1f(1)=1f(1)=1 donc Un+1≥1U_{n+1}\ge 1Un+11


  • Jérémie

    @mtschoon
    D'accord.
    Donc au final on trouve Un+1≥1 je confirme.
    Pour la dernière question, comment faut-il procéder pour trouver la limite.
    On constate que la suite est décroissante et minorée par 1 donc elle converge vers un réel l tel que l ≥1
    Ensuite je ne sais pas quoi faire


  • mtschoon

    @Jérémie , le principe doit être dans ton cours.
    (Regarde)

    Je t'indique juste la démarche.
    Un+1=Un22Un−1U_{n+1}=\dfrac{U_n^2}{2U_n-1}Un+1=2Un1Un2
    Par passage à la limite, la limite lll est solution de l'équation :
    l=l22l−1l=\dfrac{l^2}{2l-1}l=2l1l2 (à résoudre sur [1,+∞[[1,+\infty[[1,+[)


  • mtschoon

    @Jérémie ,

    Au final, tu dois trouver l=1l=1l=1

    lim⁡n→+∞Un=1\boxed{\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=1}n+limUn=1


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