Étude d'une suite et convergence

Bonjour j'ai un exercice à faire et je n'arrive pas pourriez vous s'il vous plaît m'aider.

On considère la fonction f définie sur [1; + infinie [ par f(x)=x²/2x-1

a. Dresser les variations de f sur [1;+infini[
J'ai dérivée puis j'ai trouvé grâce au signe
positif de la dérivée que f est croissante
b. En déduire que pour tout réel x≥1, f(x)≥1
La fonction étant croissante sur cet intervalle,
son minimum en 1 est 1 et elle a pr lim +infini
elle est donc tjr ≥1
Soit (Un) la suite définie par U0 =2 et pour tout
entier naturel n : Un ² / 2Un-1
a. Démontrer que la suite est décroissante est
minorée.
Pour ces deux dernières questions je sais qu'il
faut utiliser à un moment le théorème de
convergence mais je ne voit pas comment
montrer cette question peut être par
récurrence mais je n'arrive pas non plus
b. En déduire que la suite (Un) est convergente et
déterminer sa limite

Merci de votre aide et réponses

@Jérémie , bonjour,

Je regarde ton énoncé

@Jérémie a dit dans Étude d'une suite et convergence :

On considère la fonction f définie sur [1; + infinie [ par f(x)=x²/2x-1

a. Dresser les variations de f sur [1;+infini[
J'ai dérivée puis j'ai trouvé grâce au signe
positif de la dérivée que f est croissante
b. En déduire que pour tout réel x≥1, f(x)≥1
La fonction étant croissante sur cet intervalle,
son minimum en 1 est 1 et elle a pr lim +infini
elle est donc tjr ≥1
Soit (Un) la suite définie par U0 =2 et pour tout
entier naturel n : Un ² / 2Un-1
a. Démontrer que la suite est décroissante est
minorée.
Pour ces deux dernières questions je sais qu'il
faut utiliser à un moment le théorème de
convergence mais je ne voit pas comment
montrer cette question peut être par
récurrence mais je n'arrive pas non plus
b. En déduire que la suite (Un) est convergente et
déterminer sa limite

Je pense que tu as voulu écrire : $Un+1=Un22Un−1U_{n+1}=\dfrac{U_n^2}{2U_n-1}$
c'est à dite $U_{n+1}=f(U_n)$

Pour démontrer que la suite est décroissante, tu peux faire un raisonnement par récurrence en utilisant le sens de variation de la fonction f ( qui a été étudiée pour ça)

Initialisation
$U_0=2$ .
Tu calcules $U_1$ et tu trouves $U1≤U0U_1\le U_0$

Hérédité
Pour $n≥0n\ge 0$ , tu supposes $Un+1≤InU_{n+1}\le I_n$
Tu démontres que $Un+2≤Un+1U_{n+2}\le U_{n+1}$

Piste de la démonstation
$Un+1≤UnU_{n+1}\le U_n$ vu que f est croissante, elle conserve le sens des inégalités : $f(Un+1)≤f(In)f(U_{n+1})\le f(I_n)$ donc
$Un+2≤Un+1U_{n+2}\le U_{n+1}$

Tu appliques le même principe de raisonnement pour démontrer que $U_n)$ est minorée par 1, c'est à dire que , pour tout n de $N$ , $Un≥1U_n\ge 1$

Tu tires les conclusions.

Reposte si besoin.

@mtschoon

Merci de m'avoir éclairé. J'avais déjà fait l'initialisation et le début de l'hérédité. Pour la démonstration, on est bien d'accord qu'il suffit de :
(1) d'exploiter l'hypothèse de récurrence en écrivant que Un+1 ≤Un
(2) la fonction associée à la suite est celle étudiée au début d'exercice elle est donc croissante donc conservation du sens d'inégalité.
f(Un+1)≤f(Un)
(3) on a bien l'hérédité avec Un+2 ≤Un+1

@Jérémie
Je ne voit pas comment montrer que Un≥1

@Jérémie ,

Comme je t'ai dit, tu fais pareil

Initialisation $U_0=2$ donc $U0≥1U_0\ge 1$

Pour l'hérédité (redige avec soin)

$Un≥1U_n\ge 1$ => $f(Un)≥f(1)f(U_n)\ge f(1)$
Or, $f(U_n)=U_{n+1}$ et $f (1) = 1$ donc $Un+1≥1U_{n+1}\ge 1$

@mtschoon
D'accord.
Donc au final on trouve Un+1≥1 je confirme.
Pour la dernière question, comment faut-il procéder pour trouver la limite.
On constate que la suite est décroissante et minorée par 1 donc elle converge vers un réel l tel que l ≥1
Ensuite je ne sais pas quoi faire

@Jérémie , le principe doit être dans ton cours.
(Regarde)

Je t'indique juste la démarche.
$Un+1=Un22Un−1U_{n+1}=\dfrac{U_n^2}{2U_n-1}$
Par passage à la limite, la limite $l$ est solution de l'équation :
$l=l22l−1l=\dfrac{l^2}{2l-1}$ (à résoudre sur $[1,+∞[[1,+\infty[$ )

@Jérémie ,

Au final, tu dois trouver $l = 1$

$lim⁡n→+∞Un=1\boxed{\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=1}$