Etude d'une fonction avec un logarithme népérien
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Bonjour, pouvez vous me dire la domaine de définition de (|lnx|)/x s'il vous plaît
Je suis totalement bloqué
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@Jese-rajaompandresena , bonjour,
Si j'ai bien lu f(x)=∣lnx∣xf(x)=\dfrac{|lnx|}{x}f(x)=x∣lnx∣
Conditions :
x≠0x\ne 0x=0 pour que le dénominateur soit non nul
x>0x\gt 0x>0 pour que lnx existe
pas de condition pour la valeur absolue.Le domaine de définition de f est dons : Df=]0,+∞[D_f=]0,+\infty[Df=]0,+∞[
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@mtschoon Oui, merci beaucoup, j'ai déjà pensé à cette réponse mais j'étais pas sûr de moi.. j'étudie même cette fonction en ce moment !
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C'est très bien @Jese-rajaompandresena , si tout est OK pour toi maintenant.
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@mtschoon Pardon Monsieur, pouvez vous me dire la dérivabilité de ce fonction quand x tend vers 0 ? Et comment est le f(0) dans ce cas...
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@Jese-rajaompandresena , bonjour,
C'est sans importance, mais ce n'est pas "Monsieur" mais "Madame"., mais le pseudo suffit !
Ta question est très bizarre si la fonction f est bien celle que tu as donné :
f(x)=∣lnx∣xf(x)=\dfrac{|lnx|}{x}f(x)=x∣lnx∣Comme déjà indiqué, lnx n'existe que pour x>0x\gt 0x>0, c'est pour cela que le domaine de f est ]0,+∞[\boxed{]0,+\infty[}]0,+∞[
Donc : f(0)f(0)f(0) n'existe pas.
f n'est pas définie en 0, donc pas dérivable en 0.Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, tu peux prouver que f(x)f(x)f(x) tend vers +∞+\infty+∞
La représentation graphique a une asymptote "verticale" d'équation x=0x=0x=0
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@mtschoon Oh, je suis vraiment désolé Madame
Enfaite, sur le sujet, il demande la dérivabilité en tout point de Df.. alors, dois-je aussi faire la dérivabilité en plus Infini ?
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Non, le domaine va de 0 (non pris), jusqu'à +∞+\infty+∞ (non pris).
Tu étudies la dérivée pour tout réel x strictement positif.
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@mtschoon Merci beaucoup, je comprends très bien.. Merci encore pour votre aide, vous me sauvez !!
Mais êtes-vous prof?
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Réponse : prof à la retraite .
(Lorsque j'étais prof en activité, je m'occupais beaucoup de mes élèves et je n'avais pas le temps d'aider sur un forum...)
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@mtschoon Je vois.. Mais je vous dois du respect Madame!! Moi je suis encore lycéens en classe de TC
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C'est très bien d'être en TC !
Pour la dérivabilité pour x>0x\gt 0x>0, j'espère que tu n'auras pas de problème.
A cause de la valeur absolue, tu dois faire 3 cas .
ler cas : x>1x\gt 1 x>1 donc lnx>0lnx\gt 0lnx>0 donc f(x)=lnxxf(x)=\dfrac{lnx}{x}f(x)=xlnx
Tu utilises les formules usuelles pour calculer f′(x)f'(x)f′(x)
2ème cas : 0<x<10\lt x\lt 1 0<x<1 donc lnx<0lnx\lt 0lnx<0 donc f(x)=−lnxxf(x)=\dfrac{-lnx}{x}f(x)=x−lnx
Tu utilises les formules usuelles pour calculer f′(x)f'(x)f′(x)
3ème cas : x=1x=1x=1
Il faut étudier séparément la dérivabilité à gauche et la dérivabilité à droite (en passant par la définition).
Si tu obtiens un nombre dérivé à gauche différent d'un nombre dérivé à droite, il faudra conclure que f n'est pas dérivable pour x=1.Tu peux donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification.
Bons calculs.
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@mtschoon Wow, je suis déjà sur la bonne voie merci!! Mais Pourquoi la troisième cas existe madame ?
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@Jese-rajaompandresena , bonjour,
Je te réponds à ta question relative au 3ème cas, c'est à dire pour x=1x=1x=1 "frontière" entre les deux premiers cas indiqués.
Rappelle toi la définition de base pour une fonction dérivable pour une valeur x
limh→0f(x+h)−f(x)h=f′(x)\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)h→0limhf(x+h)−f(x)=f′(x)
h→0h\to 0h→0 veut dire que hhh tend vers 000, aussi bien par valeurs positives(c'est à dire supérieures à 0) que par valeurs négatives (c'est à dire inférieures à 0)
Pour le cas x=1x=1x=1
il faut étudier :
limh→0f(1+h)−f(1)h\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}h→0limhf(1+h)−f(1)Suivant que hhh est supérieur ou inférieur à 000, 1+h1+h1+h est supérieur ou inférieur à 111 et f(1+h)f(1+h)f(1+h) change d'xpression .
Il faut donc faire deux études : une à droite de 1 et une à gauche de 1
Dérivabilité à droite de 1 :
limh→0+f(1+h)−f(1)h=a1\displaystyle \lim_{h\to 0^+}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=a_1h→0+limhf(1+h)−f(1)=a1
le nombre a1a_1a1 (lorsqu'il existe) est le nombre dérivée à droite.
et on dit que la fonction f est dérivable, en 1, à droite.
a1a_1a1 est le coeficient directeur de la demi tangente à la représentation graphique pour x=1x=1x=1 à droite.Dérivabilité à gauche de 1 :
limh→0−f(1+h)−f(1)h=a2\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=a_2h→0−limhf(1+h)−f(1)=a2
le nombre a2a_2a2 (lorsqu'il existe) est le nombre dérivée à gauche.
et on dit que la fonction f est dérivable, en 1, à gauche.
a2a_2a2 est le coeficient directeur de la demi tangente à la représentation graphique pour x=1x=1x=1 à gaucheLorsque a1≠a2a_1\ne a_2a1=a2 , on dit que la fonction f n'est pas dérivable en 1.
La représentation graphique n'a pas une tangente pour x=1x=1x=1 vu que les deux demi_tangentes ne forment pas une droite.Bonne lecture.
Si tu le souhaites, tu peux donner tes réponses pour vérification.
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@mtschoon J'ai trouvé que a1 est égale à a2
Est-ce correct ?
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Ce serait bien d'indiquer tes calculs, ou bien de les revoir.
Sauf erreur, tu aurais dû trouver : a1=1a_1=1a1=1 et a2=−1a_2=-1a2=−1
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@Jese-rajaompandresena , je t'indique un calcul pour trouver a1a_1a1, si besoin.
Dérivabilité à droite de 1
On cherche
limh→0+f(1+h)−f(1)h\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}h→0+limhf(1+h)−f(1)f(1)=0f(1)=0f(1)=0
vu que 1+h>11+h\gt 11+h>1, f(1+h)=ln(1+h)1+hf(1+h)=\dfrac{ln(1+h)}{1+h}f(1+h)=1+hln(1+h)limh→0+f(1+h)−f(1)h=ln(1+h)1+hh=ln(1+h)h(1+h)\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{\dfrac{ln(1+h)}{1+h}}{h}=\dfrac{ln(1+h)}{h(1+h)}h→0+limhf(1+h)−f(1)=h1+hln(1+h)=h(1+h)ln(1+h)
Pour lever l'indétermination de la forme 00\dfrac{0}{0}00 on décompose :
limh→0+f(1+h)−f(1)h=ln(1+h)h×11+h\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{ln(1+h)}{h}\times \dfrac{1}{1+h}h→0+limhf(1+h)−f(1)=hln(1+h)×1+h1
On sait que (limite usuelle-voir cours) limx→0ln(1+x)x=1\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{ln(1+x)}{x}=1x→0limxln(1+x)=1, donc
limh→0+ln(1+h)h=1\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \dfrac{ln(1+h)}{h}=1h→0+limhln(1+h)=1
De plus :
limh→0+11+h=1\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \dfrac{1}{1+h}=1h→0+lim1+h1=1Conclusion :
limh→0+f(1+h)−f(1)h=1×1=1\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=1\times 1=1h→0+limhf(1+h)−f(1)=1×1=1
a1=1\boxed{a_1=1}a1=1
Pour la dérivabilité à gauche en 1, tu appliques le même raisonnement, mais dans ce cas, vu que 1+h<11+h\lt 11+h<1, f(1+h)=−ln(1+h)1+hf(1+h)=-\dfrac{ln(1+h)}{1+h}f(1+h)=−1+hln(1+h)
Tu trouves ainsi :
a2=−1\boxed{a_2=-1}a2=−1Regarde tout ça de près et tu pourras déduire que l'ensemble de dérivabilité de f est ]0,1[∪]1,+∞[]0,1[\cup ]1,+\infty[]0,1[∪]1,+∞[
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Bonjour,
Pistes pour la fin , pour consultation éventuelle (@Jese-rajaompandresena a dû déjà terminer son exercice)
Pour 0<x<10\lt x\lt 10<x<1 : f(x)=−lnxxf(x)=\dfrac{-lnx}{x}f(x)=x−lnx d'où f′(x)=−1+lnxx2f'(x)=\dfrac{-1+lnx}{x^2}f′(x)=x2−1+lnx, f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0
Pour x>1x\gt 1x>1 : f(x)=lnxxf(x)=\dfrac{lnx}{x}f(x)=xlnx d'où f′(x)=1−lnxx2f'(x)=\dfrac{1-lnx}{x^2}f′(x)=x21−lnx
Pour 1<x<e1\lt x\lt e1<x<e, f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0
Pour x=ex=ex=e, f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0
Pour x>ex\gt ex>e, f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0
Bonne lecture éventuelle.