Dérivation exercice difficile

Bonsoir ...
J'ai trouvé une difficultée à résoudre ce exercice ..
Soit f une fonction tel que f(x+y)=f(x).f(y) ¥(x;y)€R²
1)Montrer que sui f est dérivable en 0 alors f est dérivable sur R
2)Montrer que f'(x)=f'(0).f(x)
Merci d'avance

@ASMAE , bonjour,

Je regarde ton énoncé :

@ASMAE a dit dans Dérivation exercice difficile :

Soit f une fonction tel que f(x+y)=f(x).f(y) ¥(x;y)€R²
1)Montrer que si f est dérivable en 0 alors f est dérivable sur R
2)Montrer que f'(x)=f'(0).f(x)

Une piste possible,

Rien d'autre n'est indiqué dans ton énoncé, alors je dirais qu'il y a deux cas, que l'on trouve en calculant $f (0)$

En prenant $x = y = 0$ , on obtient $f (0 + 0) = f (0) . f (0)$ <=> $f(0)=[f(0)]^2$

En transposant :
$f(0)]^2-f(0)=0$ <=> $f (0) [f (0) - 1] = 0$

1er cas $f(0)=0\boxed{f(0)=0}$
Pour tout x réel , en prenant y=0 :
$f (x + 0) = f (x) . f (0)$ <=> $f (x) = f (x) . 0$ <=> $f (x) = 0$

f est la fonction identiquement nulle.
f est, dans ce cas, dérivable en 0 comme pour toute valeur de x (car la dérivée de 0 est 0)
C'est le cas "trivial".

2ème cas $f(0)=1\boxed{f(0)=1}$
f est, par hypothèse, dérivable en 0 donc :
$lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ est un réel $α\alpha$ (qui vaut $f^{'} (0)$ )
c'est à dire :
$lim⁡h→0f(h)−1h=α\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-1}{h}=\alpha$ ( qui vaut $f^{'} (0)$ )

Conséquence sur la dérivabilité de f en $x$ quelconque

$τ=f(x+h)−f(x)h=f(x).f(h)−f(x)h\tau=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{f(x).f(h)-f(x)}{h}$

$τ=f(x)[f(h)−1]h=f(x)×(f(h)−1h)\tau=\dfrac{f(x)[f(h)-1]}{h}=f(x)\times \biggr(\dfrac{f(h)-1}{h}\biggr)$

Vu que $lim⁡h→0f(h)−1h=α\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-1}{h}=\alpha$ , en multipliant $α\alpha$ par $f (x)$ , la limite de $τ\tau$ , lorsque $h$ tend vers $0$ existe et est le réel $αf(x)\alpha f(x)$
f est donc dérivable en x, pour tout x réel.

$f′(x)=lim⁡h→0τf'(x)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\tau$

donc $f′(x)=f(x)×lim⁡h→0(f(h)−1h)f'(x)=\displaystyle f(x)\times \lim_{h\to 0} \biggr(\dfrac{f(h)-1}{h}\biggr)$

Vu que $α=f′(0)\alpha=f'(0)$

$f′(x)=f(x)×f′(0)\boxed{f'(x)=\displaystyle f(x)\times f'(0)}$

@mtschoon merci

De rien @ASMAE
A+