Dérivation exercice difficile


  • A

    Bonsoir ...
    J'ai trouvé une difficultée à résoudre ce exercice ..
    Soit f une fonction tel que f(x+y)=f(x).f(y) ¥(x;y)€R²
    1)Montrer que sui f est dérivable en 0 alors f est dérivable sur R
    2)Montrer que f'(x)=f'(0).f(x)
    Merci d'avance 🤗


  • mtschoon

    @ASMAE , bonjour,

    Je regarde ton énoncé :

    @ASMAE a dit dans Dérivation exercice difficile :

    Soit f une fonction tel que f(x+y)=f(x).f(y) ¥(x;y)€R²
    1)Montrer que si f est dérivable en 0 alors f est dérivable sur R
    2)Montrer que f'(x)=f'(0).f(x)

    Une piste possible,

    Rien d'autre n'est indiqué dans ton énoncé, alors je dirais qu'il y a deux cas, que l'on trouve en calculant f(0)f(0)f(0)

    En prenant x=y=0x=y=0x=y=0, on obtient f(0+0)=f(0).f(0)f(0+0)=f(0).f(0)f(0+0)=f(0).f(0) <=>f(0)=[f(0)]2f(0)=[f(0)]^2f(0)=[f(0)]2

    En transposant :
    [f(0)]2−f(0)=0[f(0)]^2-f(0)=0[f(0)]2f(0)=0 <=> f(0)[f(0)−1]=0f(0)[f(0)-1]=0f(0)[f(0)1]=0

    1er cas f(0)=0\boxed{f(0)=0}f(0)=0
    Pour tout x réel , en prenant y=0 :
    f(x+0)=f(x).f(0)f(x+0)=f(x).f(0)f(x+0)=f(x).f(0) <=> f(x)=f(x).0f(x)=f(x).0f(x)=f(x).0 <=> f(x)=0f(x)=0f(x)=0

    f est la fonction identiquement nulle.
    f est, dans ce cas, dérivable en 0 comme pour toute valeur de x (car la dérivée de 0 est 0)
    C'est le cas "trivial".

    2ème cas f(0)=1\boxed{f(0)=1}f(0)=1
    f est, par hypothèse, dérivable en 0 donc :
    lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}h0limhf(0+h)f(0) est un réel α\alphaα (qui vaut f′(0)f'(0)f(0) )
    c'est à dire :
    lim⁡h→0f(h)−1h=α\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-1}{h}=\alphah0limhf(h)1=α ( qui vaut f′(0)f'(0)f(0) )

    Conséquence sur la dérivabilité de f en xxx quelconque

    τ=f(x+h)−f(x)h=f(x).f(h)−f(x)h\tau=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{f(x).f(h)-f(x)}{h}τ=hf(x+h)f(x)=hf(x).f(h)f(x)

    τ=f(x)[f(h)−1]h=f(x)×(f(h)−1h)\tau=\dfrac{f(x)[f(h)-1]}{h}=f(x)\times \biggr(\dfrac{f(h)-1}{h}\biggr)τ=hf(x)[f(h)1]=f(x)×(hf(h)1)

    Vu que lim⁡h→0f(h)−1h=α\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-1}{h}=\alphah0limhf(h)1=α, en multipliant α\alphaα par f(x)f(x)f(x), la limite de τ\tauτ , lorsque hhh tend vers 000 existe et est le réel αf(x)\alpha f(x)αf(x)
    f est donc dérivable en x, pour tout x réel.

    f′(x)=lim⁡h→0τf'(x)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\tauf(x)=h0limτ

    donc f′(x)=f(x)×lim⁡h→0(f(h)−1h)f'(x)=\displaystyle f(x)\times \lim_{h\to 0} \biggr(\dfrac{f(h)-1}{h}\biggr)f(x)=f(x)×h0lim(hf(h)1)

    Vu que α=f′(0)\alpha=f'(0)α=f(0)

    f′(x)=f(x)×f′(0)\boxed{f'(x)=\displaystyle f(x)\times f'(0)}f(x)=f(x)×f(0)


  • A

    @mtschoon merci


  • mtschoon

    De rien @ASMAE
    A+


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