etude de fonction et suite

bonjour j'ai bsoin d'aide ... et merci d'avance
h(x)=x(racine(x^2+1)-x)
on considère la suite (Un) définie par Un+1 = h(x) et U0=4
montrer que h([0;4])est inclus dans [0;4]

@ASMAE , bonjour,

Je regarde ton énoncé

@ASMAE a dit dans etude de fonction et suite :

h(x)=x(racine(x^2+1)-x)
on considère la suite (Un) définie par Un+1 = h(x) et U0=4
montrer que h([0;4])est inclus dans [0;4]

Si j'ai bien lu : $h(x)=x(x2+1−x)h(x)=x(\sqrt{x^2+1}-x)$

Je pense que tu as voulu écrire $U_{n+1}=h(U_{n})$ , mais cela n'a pas d'influence sur la question que tu poses.

Il faut que tu montres que pour $x∈[0,4x\in[0,4$ ], $h(x)∈[0,4]h(x)\in[0,4]$

Tu peux étudier les variations de h sur l'intervalle [0,4]

Pour calculer $h^{'} (x)$ , tu utilises la dérivée d'un produit.

A première vue, la dérivée n'est pas belle.

Tu peux la transformer et sauf erreur, elle s'écrit

$f′(x)=(x2+1−x)2x2+1f'(x)=\dfrac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{\sqrt{x^2+1}}$

Tu déduis le signe de f'(x), le sens de variation de f.
Tu calcules les limite en 0 et 4 et tu tires la conclusion cherchée.

ah dcc merci

De rien @ASMAE .
Bon DM.

Bonjour,
D'après la fin de l'étude précédente, $f′(x)>0f'(x)\gt 0$ sur [0,4] donc $f$ croissante sur [0,4] et $\subset [0,4]$

Une suite possible pour cet exercice, pour consultation éventuelle : Etude de la convergence de la suite $U_n)$

$U_0=4$
Après calcul , $U1=4(17−4)U_1=4(\sqrt{17}-4)$
$U1≈0.492423U_1\approx 0.492423$
Donc $U1≤U0U_1\le U_0$
Par récurrence :
vu que f est croissante, $Un+1≤UnU_{n+1}\le U_n$ => $f(Un+1)≤f(Un)f(U_{n+1})\le f(U_n)$ c'est à dire : $Un+2≤Un+1U_{n+2}\le U_{n+1}$

La suite (U_n) est décroissante.
Vu qu'elle est minorée (par 0), elle est convergente.

Soit $l$ sa limite.
$l$ est la solution de $x = f (x)$
Après calcul, $x = 0$
Donc : $l=0\boxed{l=0}$