Somme avec coefficient binomial

Bonjour, besoin d'aide avec les calculs contenants des coefficients binomiaux, ça me fatigue.
A- $∑k=1nCnk13k\sum_{k=1}^{n}C^{k}_n \frac{1}{3^{k}}$

B- $∑k=0nCnk(−1)n−k3k+1\sum_{k=0}^{n}C^{k}_n\frac{(-1)^{n-k}}{3^{k+1}}$

C- $∑k=0n(−1)kCnk\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}C^{k}_n$

D- $∑k=1n−1Cn−1k−12k\sum_{k=1}^{n-1}C^{k-1}_{n-1}2^k$

@Wil-Fried , bonsoir,

Seulement une piste,

Envidemment, il faut adapter, mais ces sommes doivent pouvoir se transformer en utilisant la formule du binome $a+b)^n$ dans le cas particulier où $a = 1$ et $b = x$

$(1+x)n=∑k=0nCnkxk\displaystyle (1+x)^n=\sum_{k=0}^n C_n^kx^k$

Pour $A$ , tu prends $x=13x=\dfrac{1}{3}$

$(1+13)n=∑k=0nCnk(13)k\displaystyle (1+\dfrac{1}{3})^n=\sum_{k=0}^n C_n^k(\dfrac{1}{3})^k$

Pour $A$ , $k$ démarre à $1$ donc il faut enlever le premier terme de cette somme :

ça doit donner : $A=(43)n−1A=\biggr(\dfrac{4}{3}\biggr)^n-1$

Essaie de poursuivre

@Wil-Fried ,bonjour,

Je regarde un peu la suite,

$B=∑k=0nCnk(−1)n−k3k+1B=\displaystyle\sum_{k=0}^n C_n^k\dfrac{(-1)^{n-k}}{3^{k+1}}$

Essaie de sortir du signe $∑\sum$ tout ce qui est indépendant de $k$

$B=∑k=0nCnk(−1)n(−1)−k3k×3B=\displaystyle\sum_{k=0}^n C_n^k\dfrac{(-1)^{n}(-1)^{-k}}{3^{k}\times 3}$

$B=(−1)n3∑k=0nCnk(−1)−k3kB=\displaystyle\dfrac{(-1)^{n}}{3}\sum_{k=0}^n C_n^k\dfrac{(-1)^{-k}}{3^{k}}$

$B=(−1)n3∑k=0nCnk1(−1)k3kB=\displaystyle\dfrac{(-1)^{n}}{3}\sum_{k=0}^n C_n^k\dfrac{1}{(-1)^k3^{k}}$

$B=(−1)n3∑k=0nCnk1(−3)kB=\displaystyle\dfrac{(-1)^{n}}{3}\sum_{k=0}^n C_n^k\dfrac{1}{(-3)^{k}}$

$B=(−1)n3∑k=0nCnk(−13)kB=\displaystyle\dfrac{(-1)^{n}}{3}\sum_{k=0}^n C_n^k\biggr(\dfrac{-1}{3}\biggr)^k$

A partir de là, tu trouves la valeur du $∑\sum$ en utilisant l'expression de $1+x)^n$ avec $x=−13x=-\dfrac{1}{3}$

Donc , sauf erreur,

$B=(−1)n3(23)nB=\displaystyle\dfrac{(-1)^{n}}{3}\biggr(\dfrac{2}{3}\biggr)^n$

Tu peux améliorer encore un peu l'expression si tu le souhaites.

Vérifie tout ça, car à force d'écrire en Latex, parfois on s'égare.

Essaie de faire le C et le D et donne tes résultats (du C et du D) si tu souhaites un vérification.

@mtschoon Merci beaucoup.. je fais le reste et je vous envoie mes résultats.

@Wil-Fried , bonjour,

Je viens de faire les calculs de $C$ et $D$

Pour $C$ , je trouve : $C = 0$
Pour $D$ , je trouve : $D=2(3^{n-1}-2^{n-1})$

A vérifier.

@mtschoon A et B et C je les trouve .
C'est le D je n'arrive pas comprendre.

@Wil-Fried , bonjour,

C'est bien si tu maîtrises A,B,C.

Je te propose un calcul possible pour D

$D=∑k=1n−1Cn−1k−12k\displaystyle D=\sum_{k=1}^{n-1}C_{n-1}^{k-1}2^k$

On peut déjà "sortir" $2$ :
$D=2∑k=1n−1Cn−1k−12k−1\displaystyle D=2\sum_{k=1}^{n-1}C_{n-1}^{k-1}2^{k-1}$

On peut faire le changement d'indices : $k^{'} = k - 1$
Ainsi
$k = 1$ <=> $k^{'} = 0$
$k = n - 1$ <=> $k^{'} = n - 2$
$D=2∑k′=0n−2Cn−1k′2k′\displaystyle D=2\sum_{k'=0}^{n-2}C_{n-1}^{k'}2^{k'}$

On pense à la formule du binôme adaptée à l'exposant $(n - 1)$ que l'on peut écrire :
$(1+x)n−1=∑k=0n−1Cn−1k′xk′\displaystyle (1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^{k'}x^{k'}$
Pour $x = 2$ , elle devient :
$3n−1=∑k=0n−1Cn−1k′2k′\displaystyle 3^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^{k'}2^{k'}$

Pour $D$ , il faut supprimer le dernier terme $C_{n-1}^{n-1}2^{n-1}=2^{n-1}$ vu que, dans $D$ , la somme va jusqu'à $(n - 2)$

Conclusion:

$D=2(3^{n-1}-2^{n-1})$

Je ne sais pas si j'ai été claire...
Revoir tout ça de près.

@mtschoon J'ai réussi à faire pareil et j'ai compris. Mercii beaucoup pour votre démonstration qui a été claire et limpide.
J'aimerais savoir si l'intérêt a été de faire en sorte que la somme commence à partir de 0 ?? Et de la faire ressembler au binôme de Newton ?

@Wil-Fried ,

C'est parfait si c'est clair pour toi.

Oui, il faut transformer pour utiliser la formule du binôme.

Le fait que la somme ne commence pas à $0$ n'est pas un réel problème car on peut toujours supprimer un (ou plusieurs termes).

Par contre il faut que les indices correspondent , c'est pour cela qu'il fallait, en début de calcul, sortir $2$ du $∑\sum$ , pour obtenir, dans la somme, $2^{k-1}$ et pouvoir faire le changement d'indices $k^{'} = k - 1$

@mtschoon C'est super! Merci

De rien @Wil-Fried ,c'est avec plaisir que nous aidons.