Exercice suite numérique et coefficient binomiale

Bonjour, svp j'ai besoin d'un coup de main.
$∀n€IN,Un=C2nn=2n!n!2\forall n € IN, U_{n}=C_{2n}^{n}=\frac{2n!}{n!^{2}}$

Pour tout n de N, simplifier le quotient $Un+1Un\frac{U_{n+1}}{U_{n}}$
Je trouve que ce quotient est égal à $2(2n+1)n+1\frac{2(2n+1)}{n+1}$ .
En déduire que U_{n+1} sup ou égal à 2U_{n}
J'ai fais cela.
Démontrer par récurrence que $U_{n+1} sup ou égal à 2^n.
C'est là que je suis bloqué. Je ne sais pas trop comment faire cela.

Les propriétés de la question 1) , que tu as démontées, s'appliquent pour tout $n$ de $N$
Tu peux (et dois) les utiliser pour la récurrence de la question 2)

Piste ,

Initialisation pour $n = 0$
Tu calcules $U_1$ et tu trouver $U_1=2$
Or $2^0=1$ donc $U1≥20U_1\ge 2^0$

Hérédité
Tu supposes pour une valeur $n$ de $N$ : $Un+1≥2nU_{n+1}\ge 2^{n}$
Tu dois démontrer que $Un+2≥2n+1U_{n+2}\ge 2^{n+1}$

Démonstration :
D'après la première question, pour tout $n$ de $N$ , $Un+1≥2UnU_{n+1}\ge 2U_n$ donc
$Un+2≥2Un+1U_{n+2}\ge 2U_{n+1}$

Par hypothèse de la récurrence : $Un+1≥2nU_{n+1}\ge 2^{n}$

Par transitivité de la relation $≥\ge$ :

$Un+2≥2Un+1≥2(2n)U_{n+2}\ge 2U_{n+1}\ge 2(2^n)$ donc .... (je te laisse terminer)

@mtschoon Bonjour, merci beaucoup

De rien @Wil-Fried .
J'espère que tu as terminé la démonstration sans difficulté.

@mtschoon Oui oui j'ai pu terminer la démonstration.
On me demande pour la dernière question d'en déduire la limite de la suite $U_{n}$

Je sais que je dois me servir des deux relations trouvées à la question 1 et à la question 2, mais je ne sais pas trop comment.
Voilà ma proposition :

$Un+1≥2UnU_{n+1}\geq2U_{n}$ et
$Un+1≥2nU_{n+1}\geq2^{n}$
$\implies$ $2Un≤2n2U_{n}\leq2^{n}$ $≤Un+1\leq U_{n+1}$ .... je constate que ça n'apporte pas grand-chose...

@Wil-Fried Bonjour,

Quelle est la limite de $2^n$ si $n$ tend vers $+∞+\infty$ ?

@Wil-Fried ,

Mais oui, la propriété démontrée à la question 2) est utile.

Tu sais donc que pour tout $n$ ; $Un+1≥2nU_{n+1}\ge 2^n$

Comme te le demande Noemi, donne la limite de $2^n$ lorsque $n$ tend vert $+∞+\infty$ et tu pourras déduire la conclusion (théorème de comparaison)

@Noemi La limite de $2^{n}$ en +00 est +00.

@Wil-Fried , tout à fait;

$lim⁡n→+∞2n=+∞\displaystyle \lim_{n\to +\infty}2^n=+\infty$

Par comparaison, tu peux déduire la limite de $U_{n+1}$ qui sera la limite de la suite $U_n)$

@mtschoon Super! Merci beaucoup

De rien @Wil-Fried ,
J'espère que tu as déduit que la suite $(U n)$ diverge vers + $∞\infty$

@mtschoon Effectivement, c'est le résultat que j'ai trouvé.

@Wil-Fried ,
C'est parfait !