Arithmétique (nombres premiers)
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Ggalois dernière édition par
Salut svp une idée pour ce qui suit
Soir n un entier naturel non nul
Montrer que :(3(n!))^2 +3(n!) +1 admet un diviseur premier p>n
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@galois Bonjour,
Une piste : faire un raisonnement par l'absurde.
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Ggalois dernière édition par
@Noemi j'ai essayé par l'absurde en supposant que tout diviseur premier de ce nombre est 《 n
et je me suis bloqué
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Si le nombre premier ppp est inférieur à nnn alors il divise n!n!n!.
Il divise aussi (3(n!))2+3(n!)(3(n!))^2+3(n!)(3(n!))2+3(n!) et donc il divise aussi 1=[(3(n!))2+3(n!)+1]−[(3(n!))2+3(n!)]1 =[ (3(n!))^2+3(n!) + 1] − [(3(n!))^2+3(n!)]1=[(3(n!))2+3(n!)+1]−[(3(n!))2+3(n!)].
Ceci est absurde, donc le nombre premier en question est au moins égal à n + 1. Conclusion : p>np \gt np>n
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Ggalois dernière édition par
@Noemi effectivement et dans ce cas tout diviseur premier de ce nombre est forcement >n
merci beaucoup
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Parfait si tu as compris la démonstration.