Exercice produit scalaire


  • M

    Bonjour à tous j'ai un exercice de produit scalaire que je n'arrive pas à traiter
    Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que :

    • P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ;
    • AP = DR.Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.
    1. Justifier que : CQ.PR=CQ.(AR-AP)

    2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires
      J'ai réussi à faire la première question mais la deuxième là je trouve pas si vous pouvez m'aider merci d'avance


  • mtschoon

    @serme225 , bonjour,

    Je joins un schéma pour plus de clarté,
    ortho.jpg


  • mtschoon

    @serme225 , vu que tu as fait la première question, en utilisant la relation de Chasles, tu as trouvé:

    CQ→.PR→=CQ→.(AR→−AP→)\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{CQ}.(\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP})CQ.PR=CQ.(ARAP)

    Piste pour la seconde question,

    En développant la relation de la question 1):
    CQ→.PR→=CQ→.AR→−CQ→.AP→\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{AP}CQ.PR=CQ.ARCQ.AP

    Tu calcules séparémment ces deux produits scalaires avec le théorème de la projection (voir cours)

    En projetant sur (AD) :
    CQ→.AR→=DR→.AR→\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{DR}.\overrightarrow{AR}CQ.AR=DR.AR
    Ces vecteurs étant de sens contraire :
    CQ→.AP→=−DR×AR\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{AP}=-DR\times ARCQ.AP=DR×AR

    En projetant sur (AB) :
    CQ→.AP→=BP→.AP→\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BP}.\overrightarrow{AP}CQ.AP=BP.AP
    Ces vecteurs étant de sens contraire :
    CQ→.AP→=−BP×AP\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{AP}=-BP\times APCQ.AP=BP×AP

    D'où :
    CQ→.PR→=(−DR×AR)+(BP×AP)\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{PR}=(-DR\times AR)+(BP\times AP)CQ.PR=(DR×AR)+(BP×AP)

    Tu poursuis en calculant cette valeur et tu dois trouver 0

    DONC :
    CQ→.PR→=0\boxed{\overrightarrow{CQ}.\overrightarrow{PR}=0}CQ.PR=0 et tu tires la conclusion.


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