Devoir trigonométrie

Bonjour j'ai besoin d'aide,
Voici l'énoncé : Cot θ - Cot ( 2 exposant n θ) = Cosec (2θ) + Cosec ( 4θ) +.......+(Cosec 2exposant n θ)

Où Cot = 1/tanθ , cosec = 1/sinθ
Et θ appartient R est tel que sin ( 2 exposant n θ) est différent de 0
Démontrer cette relation par

(A) n=1
(B) n= k+1 (Où k est un naturel non nul en supposant qu'elles soient vraies pour n=k)

Merci à ceux qui prendront le temps de me répondre

Bonjour,

Je te laisse la partie (A) ... qui ne devrait pas poser de problème.

Pour la partie (B) :

Supposons que "cot(t) - cot(2^n * t) = cosec(2t) + cosec(4t) + ... + cosec(2^n t)" soit vrai pour une certaine valeur k de n, on a alors :

cot(t) - cot(2^k * t) = cosec(2t) + cosec(4t) + ... + cosec(2^k t) (1)

cot(2^k t) - cot(2^(k+1) t) = 1/tan(2^k t) - 1/(tan(2 * 2^k t)

cot(2^k t) - cot(2^(k+1) t) = 1/tan(2^k t) - [(1 - tan²(2^k t))/(2.tan(2^k t)] (en se servant de la relation 2.tan(2a) = 2tan(a)/(1 - tan²(a))

cot(2^k t) - cot(2^(k+1) t) = (1 + tan²(2^k t))/(2.tan(2^k t)

cot(2^k t) - cot(2^(k+1) t) = 1/(2*cos²(2^k t) * tan(2^k t))

cot(2^k t) - cot(2^(k+1) t) = 1/(2*cos(2^k t) * sin(2^k t))

cot(2^k t) - cot(2^(k+1) t) = 1/(sin(2*2^k t))

cot(2^k t) - cot(2^(k+1) t) = 1/(sin(2^(k+1) t))

cot(2^k t) - cot(2^(k+1) t) = cosec(2^(k+1) t)) (2)

En ajoutant (1) et (2) membres à membre, on obtient :

cot(t) - cot(2^(k+1) * t) = cosec(2t) + cosec(4t) + ... + cosec(2^(k+1) t) (3)

Et donc si "cot(t) - cot(2^n * t) = cosec(2t) + cosec(4t) + ... + cosec(2^n t)" est vrai pour une certaine valeur k de n, c'est encore vrai pour n = (k+1)

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