Diviseurs d un nombre

[evann]

Bonjour , voici le problème que je dois résoudre :

Soit N un entier positif possédant 6 diviseurs positifs.
Combien de diviseurs positifs possèdent N au carré ?

Je pense que N=12 car 12 a 6 diviseurs ( 1,2, 3, 4, 6 et 12).

12 au carré = 144

Je dois donc chercher le nombre de diviseurs de 144 ?

Merci de votre aide

[mtschoon]

@evann , bonjour,

Je t'indique quelques idées, mais il faudra adapter en fonction de ton cours.

Effectivement, l'exemple de $12$ est bon.
En décomposant en facteurs premiers : $12=2^2\times 3^1$
Il a 6 diviseurs : $1,2,3,4,6,12$
$12^2=144$
Si tu cherches les diviseurs de 144, tu en trouves $15$ qui sont $1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144$

Tu peux prender un autre exemple $98$
$98=2^1\times 7^2$
Tu trouveras $6$ diviseurs et le carré en aura encors $15$

Il y a une propriété très commode pour trouver le nombre de diviseurs, le nombre étant décomposé en facteurs premiers.
Le nombre de diviseurs d'un entier n est le produit des puissances apparaissant dans sa décomposition en facteurs premiers, chacune augmentée de 1.

Par exemple, pour $12$ ;
$12=2^2\times 3^1$
Le nombre de diviseurs de 12 est
$(2+1)\times (1+1)=6$

Ainsi, $12^2=(2^2\times 3^1{)}^2=2^4\times 3^2$
Le nombre de diviseurs de $12^2$ est
$(4+1)\times (2+1)=15$

De façon un peu plus générale, si , en décomposant en facteurs premiers $n=a^2\times b^1$
le nombre de diviseurs de $n$ est $(2+1)\times (1+1)=6$

$n^2=(a^2\times b^1{)}^2=a^4\times b^2$

le nombre de diviseurs de $n^2$ est $(4+1)\times (2+1)=15$

Evidemment, pour utiliser cette propriété, il faut qu'elle soit dans ton cours, ce que j'ignore...

[evann]

@mtschoon
Merci

[mtschoon]

De rien @evann et bon travail.