Aide suite déduire une limite

bonjour a tous !

Soit $u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0, u_1 = 1 \ et \ u_{n+1} = (u_n + u_{n−1})$ pour $n$ > $1$

Placer quelques termes de cette suite sur le segment $[0; 1]$ .
On pose $v_n$ = $u_n − u_{n−1}$ pour $n$ > $1$ .
Montrer que la suite $v_n)$ est géométrique, puis calculer son terme général.
Calculer $S_n = v_1 + · · · + v_n$ et en déduire $u_n$ .
Calculer la limite de la suite $u_n)$ .

je bloque sur la question 3 et 4
donc sachant (sauf erreur de ma part) que $v_n$ est géométrique de raison $q = - 1 / 2$
$Sn=Vp∗[1−qn−p+11−q]S_n=V_p*[\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}]$
avec $p = 1$ $Sn=V1∗[1−qn1−q]S_n=V_1*[\frac{1-q^{n}}{1-q}]$ soit $Sn=[1−qn1−q]S_n=[\frac{1-q^{n}}{1-q}]$
maintenant je dois déduire $U_{n}$ j'écris $U_{n}=V_n-U_{n-1}=V_1q^{n-1}-U_{n-1}$
quant a la 4 : lim $un=jeneparviensaladeˊtermineru_{n}=je ne parviens a la déterminer$

bonjour!
je remet l'énonce

Soit $u_n)$ la suite définie par $nu_0 = 0, u_1 = 1 \ \ et \ \ u_{n+1} = \frac{1}{2} (u_n + u_{n−1}) \ pour\ n$ $≥\geq$ $1$

1- Placer quelques termes de cette suite sur le segment [0; 1]
2- On pose $n≥1v_n = u_n − u_{n−1}\ pour \ n \geq 1$
Montrer que la suite $v_n)$ est géométrique, puis calculer son terme général
3-Calculer $S_n = v_1 + · · · + v_n$ et en déduire $u_n$
4- Calculer la limite de la suite $u_n)$
j'ai indique plus haut se trouve mes difficultés et ce que j'avais déjà fait cette fois ci il n'y a plus de coquilles!

@loicstephan a dit dans Aide suite déduire une limite :

bonjour a tous !

Soit $u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0, u_1 = 1 \ et \ u_{n+1} = (u_n + u_{n−1})$ pour $n$ > $1$

Placer quelques termes de cette suite sur le segment $[0; 1]$ .

On pose $v_n$ = $u_n − u_{n−1}$ pour $n$ > $1$ .
Montrer que la suite $v_n)$ est géométrique, puis calculer son terme général.

Calculer $S_n = v_1 + · · · + v_n$ et en déduire $u_n$ .

Calculer la limite de la suite $u_n)$ .

je bloque sur la question 3 et 4
donc sachant (sauf erreur de ma part) que $v_n$ est géométrique de raison $q = - 1 / 2$
$Sn=Vp∗[1−qn−p+11−q]S_n=V_p*[\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}]$
avec $p = 1$ $Sn=V1∗[1−qn1−q]S_n=V_1*[\frac{1-q^{n}}{1-q}]$ soit $Sn=[1−qn1−q]S_n=[\frac{1-q^{n}}{1-q}]$
maintenant je dois déduire $U_{n}$ j'écris $U_{n}=V_n-U_{n-1}=V_1q^{n-1}-U_{n-1}$
quant a la 4 : lim $un=jeneparviensaladeˊtermineru_{n}=je ne parviens a la déterminer$

Vérifie ton énoncé.

@Black-Jack Pour tout n $≥1\geq 1$

@loicstephan a dit dans Aide suite déduire une limite :

@Black-Jack Pour tout n $≥1\geq 1$

Bonjour,

C'est déjà une erreur en moins, néanmoins cela ne va toujours pas.

Je calcule quelques baleurs de u(n) à partir de u(n+1) = (u(n) + u(n-1), cela donne :

u(0) = 0
u(1) = 1
u(2) = (u(1) + u(0)) = 1
u(3) = (u(2) + u(1)) = 2
u(4) = 3
u(5) = 5
u(6) = 8

Et puis je calcule v(n) à partir de v(n) = u(n) - u(n-1), cela donne :

v(1) = u(1) - u(0) = 1
v(2) = (u2 - u(1)) = 0
v(3) = 1
v(4) = 1
v(5) = 2
v(6) = 3

... et on constate que la suite vn n'est pas géométrique et donc non conforme à l'énoncé.

De 2 choses l'une, ou bien j'ai fait des erreurs de calcul, ou bien il y a des erreurs dans l'énoncé.

Je penche pour l'erreur d'énoncé.

Bonjour,

Avec l'énoncé corrigé par loicstephan (et mis dans un mauvais sujet)

C'est à dire avec cette fois : u(n+1) = 1/2 * (u(n) + u(n-1))

...

Cà c'est mieux.

v(n) = u(n) - u(n-1)
v(n+1) = u(n+1)-u(n)
v(n+1) = (1/2).(u(n) + u(n-1))-u(n)
v(n+1) = (1/2).(-u(n) + u(n-1))
v(n+1) = -(1/2).(u(n) - u(n-1))
v(n+1) = -v(n)

Et donc vn est une suite géométrique de raison -1/2 et de 1er terme v(1) = u(1)-u(0) = 1

On a donc v(n) = -(1/2)^n (pour n >=1)

Sn est la somme de n termes en progression géométrique de raison -1/2 et de 1er terme = 1 et on a donc :

Sn = 1 * (1 - (-1/2)^n)/(1 + 1/2)

Sn = (2/3).(1 - (-1/2)^n)

lim(n--> +oo) Sn = 2/3
lim(n-->+oo) [(u(1) - u(0)) + (u(2) - u(1)) + ... + (u(n) - u(n-1))] = 2/3
lim(n-->+oo) [- u(0) + u(n)] = 2/3
lim(n-->+oo) [- 0 + u(n)] = 2/3
lim(n-->+oo) [u(n)] = 2/3

Bonjour,

@Black-Jack a dit dans Aide suite déduire une limite :

Bonjour,

Avec l'énoncé corrigé par loicstephan (et mis dans un mauvais sujet)

C'est à dire avec cette fois : u(n+1) = 1/2 * (u(n) + u(n-1))

...

Cà c'est mieux.

v(n) = u(n) - u(n-1)
v(n+1) = u(n+1)-u(n)
v(n+1) = (1/2).(u(n) + u(n-1))-u(n)
v(n+1) = (1/2).(-u(n) + u(n-1))
v(n+1) = -(1/2).(u(n) - u(n-1))
v(n+1) = -v(n)

Et donc vn est une suite géométrique de raison -1/2 et de 1er terme v(1) = u(1)-u(0) = 1

On a donc v(n) = -(1/2)^n (pour n >=1)

Sn est la somme de n termes en progression géométrique de raison -1/2 et de 1er terme = 1 et on a donc :

Sn = 1 * (1 - (-1/2)^n)/(1 + 1/2)

Sn = (2/3).(1 - (-1/2)^n)

lim(n--> +oo) Sn = 2/3
lim(n-->+oo) [(u(1) - u(0)) + (u(2) - u(1)) + ... + (u(n) - u(n-1))] = 2/3
lim(n-->+oo) [- u(0) + u(n)] = 2/3
lim(n-->+oo) [- 0 + u(n)] = 2/3
lim(n-->+oo) [u(n)] = 2/3

Petite distraction,
Au lieu de v(n+1)=-v(n), il faut lire :
$Vn+1=−12VnV_{n+1}=-\dfrac{1}{2}V_n$

@mtschoon a dit dans Aide suite déduire une limite :

Bonjour,

@Black-Jack a dit dans Aide suite déduire une limite :

Bonjour,

Avec l'énoncé corrigé par loicstephan (et mis dans un mauvais sujet)

C'est à dire avec cette fois : u(n+1) = 1/2 * (u(n) + u(n-1))

...

Cà c'est mieux.

v(n) = u(n) - u(n-1)
v(n+1) = u(n+1)-u(n)
v(n+1) = (1/2).(u(n) + u(n-1))-u(n)
v(n+1) = (1/2).(-u(n) + u(n-1))
v(n+1) = -(1/2).(u(n) - u(n-1))
v(n+1) = -v(n)

Et donc vn est une suite géométrique de raison -1/2 et de 1er terme v(1) = u(1)-u(0) = 1

On a donc v(n) = -(1/2)^n (pour n >=1)

Sn est la somme de n termes en progression géométrique de raison -1/2 et de 1er terme = 1 et on a donc :

Sn = 1 * (1 - (-1/2)^n)/(1 + 1/2)

Sn = (2/3).(1 - (-1/2)^n)

lim(n--> +oo) Sn = 2/3
lim(n-->+oo) [(u(1) - u(0)) + (u(2) - u(1)) + ... + (u(n) - u(n-1))] = 2/3
lim(n-->+oo) [- u(0) + u(n)] = 2/3
lim(n-->+oo) [- 0 + u(n)] = 2/3
lim(n-->+oo) [u(n)] = 2/3

Petite distraction,
Au lieu de v(n+1)=-v(n), il faut lire :
$Vn+1=−12VnV_{n+1}=-\dfrac{1}{2}V_n$

Bonjour,

Yes

@Black-Jack , bonne soirée

@loicstephan a dit dans Aide suite déduire une limite :

3-Calculer Sn=v1+⋅⋅⋅+vnS_n = v_1 + · · · + v_nSn=v1+⋅⋅⋅+vn et en déduire Un (la somme ou le dernier terme en fonction de n) ???? la question me semblait polysémique pas très précise!
Logiquement on nous demande de calculer une somme donc certainement d'en déduire une autre somme !

qu'est ce que vous en pensez?

Bonjour,

@loicstephan , le but de l'exercice est de déterminer la limite de la suite $U_n)$ qui est une suite qui satisfait à une relation de récurrence linéaire de second ordre (que tu as modifiée)

La suite $V_n)$ est la suite auxiliaire adaptée, dont la somme permet de trouver la limite de la suite $U_n)$
(c'est la méthode "télescopique" expliquée dans une autre discussion que tu avais ouverte).

@mtschoon