Aide suite déduire une limite


  • L

    bonjour a tous !

    Soit (un)(u_n)(un) la suite définie par u0=0,u1=1 et un+1=(un+un−1)u_0 = 0, u_1 = 1 \ et \ u_{n+1} = (u_n + u_{n−1})u0=0,u1=1 et un+1=(un+un1) pour nnn >111

    1. Placer quelques termes de cette suite sur le segment [0;1][0; 1][0;1].
    2. On pose vnv_nvn = un−un−1u_n − u_{n−1}unun1 pour nnn > 111.
      Montrer que la suite (vn)(v_n)(vn) est géométrique, puis calculer son terme général.
    3. Calculer Sn=v1+⋅⋅⋅+vnS_n = v_1 + · · · + v_nSn=v1++vn et en déduire unu_nun.
    4. Calculer la limite de la suite (un)(u_n)(un).

    je bloque sur la question 3 et 4
    donc sachant (sauf erreur de ma part) que vnv_nvn est géométrique de raison q=−1/2q=-1/2q=1/2
    Sn=Vp∗[1−qn−p+11−q]S_n=V_p*[\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}]Sn=Vp[1q1qnp+1]
    avec p=1p=1p=1 Sn=V1∗[1−qn1−q]S_n=V_1*[\frac{1-q^{n}}{1-q}]Sn=V1[1q1qn] soit Sn=[1−qn1−q]S_n=[\frac{1-q^{n}}{1-q}]Sn=[1q1qn]
    maintenant je dois déduire UnU_{n}Un j'écris Un=Vn−Un−1=V1qn−1−Un−1U_{n}=V_n-U_{n-1}=V_1q^{n-1}-U_{n-1}Un=VnUn1=V1qn1Un1
    quant a la 4 : lim un=jeneparviensaladeˊtermineru_{n}=je ne parviens a la déterminer un=jeneparviensaladeˊterminer

    bonjour!
    je remet l'énonce

    Soit (un)(u_n)(un) la suite définie par u0=0,u1=1  et  un+1=12(un+un−1) pour nu_0 = 0, u_1 = 1 \ \ et \ \ u_{n+1} = \frac{1}{2} (u_n + u_{n−1}) \ pour\ nu0=0,u1=1  et  un+1=21(un+un1) pour n ≥\geq 111

    1- Placer quelques termes de cette suite sur le segment [0; 1]
    2- On pose vn=un−un−1 pour n≥1v_n = u_n − u_{n−1}\ pour \ n \geq 1vn=unun1 pour n1
    Montrer que la suite (vn)(v_n)(vn) est géométrique, puis calculer son terme général
    3-Calculer Sn=v1+⋅⋅⋅+vnS_n = v_1 + · · · + v_nSn=v1++vn et en déduire unu_nun
    4- Calculer la limite de la suite (un)(u_n)(un)
    j'ai indique plus haut se trouve mes difficultés et ce que j'avais déjà fait cette fois ci il n'y a plus de coquilles!


  • B

    @loicstephan a dit dans Aide suite déduire une limite :

    bonjour a tous !

    Soit (un)(u_n)(un) la suite définie par u0=0,u1=1 et un+1=(un+un−1)u_0 = 0, u_1 = 1 \ et \ u_{n+1} = (u_n + u_{n−1})u0=0,u1=1 et un+1=(un+un1) pour nnn >111

    1. Placer quelques termes de cette suite sur le segment [0;1][0; 1][0;1].
    2. On pose vnv_nvn = un−un−1u_n − u_{n−1}unun1 pour nnn > 111.
      Montrer que la suite (vn)(v_n)(vn) est géométrique, puis calculer son terme général.
    3. Calculer Sn=v1+⋅⋅⋅+vnS_n = v_1 + · · · + v_nSn=v1++vn et en déduire unu_nun.
    4. Calculer la limite de la suite (un)(u_n)(un).

    je bloque sur la question 3 et 4
    donc sachant (sauf erreur de ma part) que vnv_nvn est géométrique de raison q=−1/2q=-1/2q=1/2
    Sn=Vp∗[1−qn−p+11−q]S_n=V_p*[\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}]Sn=Vp[1q1qnp+1]
    avec p=1p=1p=1 Sn=V1∗[1−qn1−q]S_n=V_1*[\frac{1-q^{n}}{1-q}]Sn=V1[1q1qn] soit Sn=[1−qn1−q]S_n=[\frac{1-q^{n}}{1-q}]Sn=[1q1qn]
    maintenant je dois déduire UnU_{n}Un j'écris Un=Vn−Un−1=V1qn−1−Un−1U_{n}=V_n-U_{n-1}=V_1q^{n-1}-U_{n-1}Un=VnUn1=V1qn1Un1
    quant a la 4 : lim un=jeneparviensaladeˊtermineru_{n}=je ne parviens a la déterminer un=jeneparviensaladeˊterminer

    Vérifie ton énoncé.


  • L

    @Black-Jack Pour tout n ≥1\geq 11


  • B

    @loicstephan a dit dans Aide suite déduire une limite :

    @Black-Jack Pour tout n ≥1\geq 11

    Bonjour,

    C'est déjà une erreur en moins, néanmoins cela ne va toujours pas.

    Je calcule quelques baleurs de u(n) à partir de u(n+1) = (u(n) + u(n-1), cela donne :

    u(0) = 0
    u(1) = 1
    u(2) = (u(1) + u(0)) = 1
    u(3) = (u(2) + u(1)) = 2
    u(4) = 3
    u(5) = 5
    u(6) = 8

    Et puis je calcule v(n) à partir de v(n) = u(n) - u(n-1), cela donne :

    v(1) = u(1) - u(0) = 1
    v(2) = (u2 - u(1)) = 0
    v(3) = 1
    v(4) = 1
    v(5) = 2
    v(6) = 3

    ... et on constate que la suite vn n'est pas géométrique et donc non conforme à l'énoncé.


    De 2 choses l'une, ou bien j'ai fait des erreurs de calcul, ou bien il y a des erreurs dans l'énoncé.

    Je penche pour l'erreur d'énoncé.


  • B

    Bonjour,

    Avec l'énoncé corrigé par loicstephan (et mis dans un mauvais sujet)

    C'est à dire avec cette fois : u(n+1) = 1/2 * (u(n) + u(n-1))

    ...

    ​Cà c'est mieux.

    v(n) = u(n) - u(n-1)
    v(n+1) = u(n+1)-u(n)
    v(n+1) = (1/2).(u(n) + u(n-1))-u(n)
    v(n+1) = (1/2).(-u(n) + u(n-1))
    v(n+1) = -(1/2).(u(n) - u(n-1))
    v(n+1) = -v(n)

    Et donc vn est une suite géométrique de raison -1/2 et de 1er terme v(1) = u(1)-u(0) = 1

    On a donc v(n) = -(1/2)^n (pour n >=1)

    Sn est la somme de n termes en progression géométrique de raison -1/2 et de 1er terme = 1 et on a donc :

    Sn = 1 * (1 - (-1/2)^n)/(1 + 1/2)

    Sn = (2/3).(1 - (-1/2)^n)

    lim(n--> +oo) Sn = 2/3
    lim(n-->+oo) [(u(1) - u(0)) + (u(2) - u(1)) + ... + (u(n) - u(n-1))] = 2/3
    lim(n-->+oo) [- u(0) + u(n)] = 2/3
    lim(n-->+oo) [- 0 + u(n)] = 2/3
    lim(n-->+oo) [u(n)] = 2/3


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Black-Jack a dit dans Aide suite déduire une limite :

    Bonjour,

    Avec l'énoncé corrigé par loicstephan (et mis dans un mauvais sujet)

    C'est à dire avec cette fois : u(n+1) = 1/2 * (u(n) + u(n-1))

    ...

    ​Cà c'est mieux.

    v(n) = u(n) - u(n-1)
    v(n+1) = u(n+1)-u(n)
    v(n+1) = (1/2).(u(n) + u(n-1))-u(n)
    v(n+1) = (1/2).(-u(n) + u(n-1))
    v(n+1) = -(1/2).(u(n) - u(n-1))
    v(n+1) = -v(n)

    Et donc vn est une suite géométrique de raison -1/2 et de 1er terme v(1) = u(1)-u(0) = 1

    On a donc v(n) = -(1/2)^n (pour n >=1)

    Sn est la somme de n termes en progression géométrique de raison -1/2 et de 1er terme = 1 et on a donc :

    Sn = 1 * (1 - (-1/2)^n)/(1 + 1/2)

    Sn = (2/3).(1 - (-1/2)^n)

    lim(n--> +oo) Sn = 2/3
    lim(n-->+oo) [(u(1) - u(0)) + (u(2) - u(1)) + ... + (u(n) - u(n-1))] = 2/3
    lim(n-->+oo) [- u(0) + u(n)] = 2/3
    lim(n-->+oo) [- 0 + u(n)] = 2/3
    lim(n-->+oo) [u(n)] = 2/3

    Petite distraction,
    Au lieu de v(n+1)=-v(n), il faut lire :
    Vn+1=−12VnV_{n+1}=-\dfrac{1}{2}V_nVn+1=21Vn


  • B

    @mtschoon a dit dans Aide suite déduire une limite :

    Bonjour,

    @Black-Jack a dit dans Aide suite déduire une limite :

    Bonjour,

    Avec l'énoncé corrigé par loicstephan (et mis dans un mauvais sujet)

    C'est à dire avec cette fois : u(n+1) = 1/2 * (u(n) + u(n-1))

    ...

    ​Cà c'est mieux.

    v(n) = u(n) - u(n-1)
    v(n+1) = u(n+1)-u(n)
    v(n+1) = (1/2).(u(n) + u(n-1))-u(n)
    v(n+1) = (1/2).(-u(n) + u(n-1))
    v(n+1) = -(1/2).(u(n) - u(n-1))
    v(n+1) = -v(n)

    Et donc vn est une suite géométrique de raison -1/2 et de 1er terme v(1) = u(1)-u(0) = 1

    On a donc v(n) = -(1/2)^n (pour n >=1)

    Sn est la somme de n termes en progression géométrique de raison -1/2 et de 1er terme = 1 et on a donc :

    Sn = 1 * (1 - (-1/2)^n)/(1 + 1/2)

    Sn = (2/3).(1 - (-1/2)^n)

    lim(n--> +oo) Sn = 2/3
    lim(n-->+oo) [(u(1) - u(0)) + (u(2) - u(1)) + ... + (u(n) - u(n-1))] = 2/3
    lim(n-->+oo) [- u(0) + u(n)] = 2/3
    lim(n-->+oo) [- 0 + u(n)] = 2/3
    lim(n-->+oo) [u(n)] = 2/3

    Petite distraction,
    Au lieu de v(n+1)=-v(n), il faut lire :
    Vn+1=−12VnV_{n+1}=-\dfrac{1}{2}V_nVn+1=21Vn

    Bonjour,

    Yes 🙂


  • mtschoon

    @Black-Jack , bonne soirée 🙂


  • L

    @loicstephan a dit dans Aide suite déduire une limite :

    3-Calculer Sn=v1+⋅⋅⋅+vnS_n = v_1 + · · · + v_nSn​=v1​+⋅⋅⋅+vn​ et en déduire Un (la somme ou le dernier terme en fonction de n) ???? la question me semblait polysémique pas très précise!
    Logiquement on nous demande de calculer une somme donc certainement d'en déduire une autre somme !

    qu'est ce que vous en pensez?


  • mtschoon

    Bonjour,

    @loicstephan , le but de l'exercice est de déterminer la limite de la suite (Un)(U_n)(Un) qui est une suite qui satisfait à une relation de récurrence linéaire de second ordre (que tu as modifiée)

    La suite (Vn)(V_n)(Vn) est la suite auxiliaire adaptée, dont la somme permet de trouver la limite de la suite (Un)(U_n)(Un)
    (c'est la méthode "télescopique" expliquée dans une autre discussion que tu avais ouverte).


  • L


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