démontrer une convergence

bonsoir de nouveau

Soit $u_n)$ une suite à termes strictement positifs.

Supposons qu’il existe $\ tel \ que \ \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq k$ à partir d’un certain rang. Montrer qu’alors la suite $u_n)$ converge vers 0.
Supposons que $\ n→+∞ \ de \ \frac{u_{n+1}}{u_n} =l$ < $1$ Montrer qu’alors la suite $u_n)$ converge vers 0
Application: Déterminer la limite de la suite de terme général $un=n1789n!u_n= \frac{n^{1789}}{n!}$

je bloque sur la 2 et la 3

pour la question 1 sachant que $U_n$ converge : $Un+1Un≤k\frac{U_{n+1}}{U_n} \leq k$ soit $Un+1≤kUnU_{n+1} \leq kU_n$ en posant $l = f (l)$ j'ai $\leq kl$ soit $\leq 0$ soit $\leq 0$

@loicstephan a dit dans démontrer une convergence :

pour la question comment montrer qu'une suite converge vers 0 sachant qu'elle est convergente vers l<1

@loicstephan , bonjour,

Pour ta solution à la question 1), tu dis "Sachant que (U_n) converge"
Mais... cela n'est pas écrit dans l'énoncé que tu indiques.

Il faut que tu prouves que la suite $U_n)$ converge.
Ce n'est pas difficile à prouver.
La suite est à termes strictement positifs donc minorée par 0
Vu que 0<k<1, tu peux prouver que cette suite est décroissante;
Conclusion : elle est convergente ( vers une limite $l$ )

Vu que la suite est à termes positifs, sa limite $l$ est forcément positive $l≥0l\ge 0$

Tu as expliqué que $l≤0l\le 0$

Conclusion : $l = 0$

@loicstephan ,

Pour la 2), j'ai une proposition , mais un peu "délicate"...en Terminale...

Vu l'hypthèse, on peut dire qu'à partir d'un certain rang $n_0$ , il existe $ϵ\epsilon$ ( $ϵ>0)\epsilon \gt 0)$ vérifiant :

$0<l−ϵ<Un+1Un<l+ϵ<10\lt l-\epsilon\lt \dfrac{U_{n+1}}{U_n}\lt l+\epsilon\lt 1$

Or,

$UnUn0=UnUn−1×Un−1Un−2×...×Un0+1Un0\dfrac{U_n}{U_{n_0}}=\dfrac{U_n}{U_{n-1}}\times \dfrac{U_{n-1}}{U_{n-2}}\times ...\times \dfrac{U_{n_{0}+1}}{U_{n_{0}}}$

Chacun des ces facteurs est strictement inférieur à $l+ϵl+\epsilon$
Il y a $n-n_0)$ facteurs.

Donc :
$0<UnUn0<(l+ϵ)n−n00\lt \dfrac{U_n}{U_{n_0}} \lt (l+\epsilon)^{n-n_0}$

Vu que $l+ϵ<1l+\epsilon\lt 1$ , $lim⁡n→+∞(l+ϵ)n−n0=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty} (l+\epsilon)^{n-n_0}=0$
Donc, par encadrement, $lim⁡n→+∞UnUn0=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{U_n}{U_{n_0}} =0$

Donc : , $lim⁡n→+∞Un=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty} U_n =0$

Je n'ai pas trouvé de solution véritablement "esprit Terminale"

merci bcp @mtschoon

De rien @loicstephan .
J'espère que ça va te convenir...

@mtschoon
je ne prépare pas le bac S donc...

@loicstephan , bonjour,

@loicstephan a dit dans démontrer une convergence :

@mtschoon
je ne prépare pas le bac S donc...

Si tu n'est pas en Terminale, essaie de mettre tes demandes dans une rubrique plus adaptée...

Je regarde ta question et je vois que tu bloques aussi sur la question 3) qui est une application de la 2)

Je te mets quelques indications de calculs ( je ne les fais pas)

Tu simplifies $Un+1Un\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ le mieux possible, en sachant que $(n+1)!n!=(n+1)\dfrac{(n+1)!}{n!}=(n+1)$ et en réduisant l'exposant.

Tu obtiens une fonction décroissante de $n$

Tu dois appliquer la qestion 1), donc tu indiques un certain rang, à partir duquel $Un+1Un<k\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\lt k$ , avec $k$ compris au sens strict entre $0$ et $1$

Pour cela, tu utilises ta calculette.
IL faut avoir bien simplifié $Un+1Un\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ pour ne pas avoir dépassé de seuil de capacité de ta calculette...
Par exemple, sauf erreur, pour $n≥350n\ge 350$ , $Un+1Un<0.5\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\lt 0.5$

Tu peux ainsi conclure que $lim⁡n→+∞Un+1Un=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=0$

Bon calcul.

bonjour @mtschoon
Merci déjà pour la réaction! les exercices sont tires d'un livre de terminale S ca peut certainement aider les autres je me dis!

Tout à fait @loicstephan , mais en réalité Terminale S n'existe plus... et le programme actuel de Terminale a un peu changé...

bon apres c'est un livre un peu daté...
après simplification j'ai $Un+1Un=(n+1)1788n1789\frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{(n+1)^{1788}}{n^{1789}}$

@loicstephan ,

je l'ai ensuite un peu transformé mais je trouve bien ça.

@mtschoon vous avez transforme en utilisant quelle propriété de plus pour trouver $k$ je ne vois pas comment appliquer rigoureusement la démonstration en 2)

@loicstephan ,

Comme je te l'ai indiqué , tu termines à la calculette pour pouvoir appliquer ce qui a été démontré.
Evidemment, on pourrait trouver la limite diréctement, mais ce n'est pas le but de l'exercice.

J'ai transformé un peu plus, tout simplement car ma calculette peu puissante ne pouvait pas calculer...

J'ai donc dû écrire :

$Un+1Un=(n+1n)1788×1n=(1+1n)1788×1n\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=(\dfrac{n+1}{n})^{1788}\times \dfrac{1}{n}=(1+\dfrac{1}{n})^{1788}\times \dfrac{1}{n}$

Ensuite, j'ai utilisé des valeurs-calculette,
Tu as le choix.
Il suffit d'indiquer une valeur de $k$ comprise entre 0 et 1 (strictement) pour laquelle, pour $n≥n0n\ge n_0$ , $Un+1Un<k\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\lt k$

@mtschoon
Bonjour

Bonjour @loicstephan