Intégrale de Wallis (intégration par partie)

[perplexus]

Bonjour, je fais appel à vous car je sèche sur une question d’un DM (fort intéressant) sur les intégrales de Wallis.

Voici l’énoncé :
On définit l'intégrale $I_n$ , par ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}$$(sint{)}^{n}dt$, pour tout n supérieur ou égal à 2.
Démontrer que :
$I_n$ = $\frac{n-1}{n}$$I_{n-2}$

J’ai commencé à intégré par partie et j’ai réussi à sortir $(n-1)$ mais je ne vois pas comment sortie un $\frac{1}{n}$ ensuite.

Pouvez vous m’aider, s’il vous plait ?

[mtschoon]

@perplexus , bonjour,

Comme je ne sais pas exactement ce que tu as fait, je t'indique une démarche globale.

$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(sint{)}^{n}dt={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}sint(sint{)}^{n-1}dt$

Par IPP, en posant $U(t)=(sint{)}^{n-1}$ et $V^{\prime }(t)=sint$

$I_n=[-cost(sint{)}^{n-1}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}cost(n-1)(-cost(sint{)}^{n-2})dt$

Après calcul

$I_n=(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(sint{)}^{n-2}(cost{)}^{2}dt$

Vu que $(cost{)}^2=1-(sint{)}^2$ (c'est peut-être cela que tu n'as
pa pensé à faire...?)

$I_n=(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(sint{)}^{n-2}(1-(sint{)}^2)dt$

En développant :

$I_n=(n-1)){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(sint{)}^{n-2}dt-(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(sint{)}^{n}dt$

$I_n=(n-1))I_{n-2}-(n-1)I_n$

En transposant

$n{I}_n=(n-1)I_{n-2}$

d'où : $I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$

CQFD

[perplexus]

@mtschoon Merci beaucoup ! C’est ce que j’avais entamé, j’avais remplacé par $1-sint$ mais je m’était trompé dans le développement.

[mtschoon]

De rien @perplexus .
C'est parfait si tu as pu ainsi rectifier ton erreur.

Bon DM !

[perplexus]

Bonsoir ! J’ai avancé dans ce DM et j’ai attaqué la partie 2. Je cherche a avoir des conseils sur ma rédaction et ma démarche pour cette question :
Prouver que pour $n\ge 1$ , et $\forall x$ de [0 , $\frac{\pi }{2}$], on a $0\le si{n}^{2n+1}x\le si{n}^{2n}x\le si{n}^{2n-1}x$.

Je pose :
$0\le sinx\le 1$
Je multiplie par $sinx$ pour chaque membre :
$0\le si{n}^{2}x\le sinx$
Je rajoute un membre à droite suite à la première inégalité posée :
$0\le si{n}^{2}x\le sinx\le 1$
Je réitère le produit précédent :
$0\le si{n}^{3}x\le si{n}^{2}x\le sinx$
Je fini par multiplier chaque membre par $si{n}^{2n-2}x$ :
D’où, $0\le si{n}^{2n+1}x\le si{n}^{2n}x\le si{n}^{2n-1}x$

Es-ce trop détaillé ? Le vocabulaire est-il adéquat ? Le raisonnement est-il juste ?

[mtschoon]

@perplexus bonsoir,

Ta démarche me parait bonne. R.A.S.

Si ton professeur est très rigoureux, tu peux préciser que tu ne changes pas le sens des inégalités en multipliant par $sinx$, $si{n}^{2n-2}x$, vu que ces nombres sont positifs (au sens large) pour $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$

[perplexus]

Merci !
Il me reste seulement une dernière question :
Soit la suite $(U_n)\forall n\ge 1$ défini par $U_n=[\frac{1\times 3\times 5\times \dots \times (2n-1)}{1\times 2\times 4\times \dots \times 2n}{]}^2(2n+1)$ Déterminer la limite de cette suite.
Sachant que avec les questions précédentes j’ai déterminé que : $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=1$
J’ai donc développé la suite $(Un)$ et après quelques manipulations je suis arrivé sur :
$Un={I_{2n}}^2(2_{n+1})$.
Il me semble que la question précédente doit me permettre de résoudre le problème mais je ne vois pas comment. Pouvez-vous m’aiguiller ?

[mtschoon]

@perplexus , bonjour,

J'ai un gros doute sur la formule de $U_n$ que tu obtiens.

Je viens de faire quelques calculs.

Sauf erreur, $U_n=\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}\times \frac{2}{\pi }$

Ainsi, connaisant la limite de $\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}$ que tu as trouvée, tu pourras déduire la limite de $U_n$

[mtschoon]

@perplexus , je te mets quelques indications possibles de calculs (si tu n'en as pas dans ton énoncé) , à vérifier.
(Je ne mets pas tous les calculs).

Tu peux commencer par calculer $I_0$ et $I_1$ car tu en auras besoin
Tu dois trouver $I_0=\frac{\pi }{2}$ et $I_1=1$.

Tu explicites séparément $I_{2n}$ et $I_{2n+1}$ en les tranformant pour pouvoir simplifier leur quotient et faire apparaître $U_n$
(ce n'est pas simple, mais je n'ai pas trouvé mieux...)

$I_{2n}=\frac{2n-1}{2n}\times I_{2n-2}$

$I_{2n}=\frac{2n-1}{2n}\times \frac{2n-3}{2n-2}\times I_{2n-4}$

Tu continues la démarche jusqu'à $I_0$

Tu dois obtenir, sauf erreur,
$I_{2n}=\frac{(2n-1)(2n-3)...(3)(1)}{(2n)(2n-2)...(2)}\times I_0$
$I_{2n}=\frac{(2n-1)(2n-3)...(3)(1)}{(2n)(2n-2)...(2)(1)}\times \frac{\pi }{2}$

Comme il te faut des carrés pour faire apparaître $U_n$, tu transformes en mettant le dénominateur au carré et en complétant le numérateur pour équilibrer

Cela doit donner :
$I_{2n}=\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)...(3)(2)(1)}{[(2n)(2n-2)...(2)(1){]}^2}\times \frac{\pi }{2}$
Tu peux l'écrire :
$I_{2n}=\frac{(2n)!}{[(2n)(2n-2)...(2)(1){]}^2}\times \frac{\pi }{2}$

Tu pratiques de la même façon pour $I_{2n+1}$ et au final, tu dois obtenir, après simplification, l'expression de $\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}$ :

$\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=U_n\times \frac{\pi }{2}$, d'où la réponse proposée pour $U_n$

Vérifie tout ça.

Une remarque : je trouve cela bien compliqué en Terminale .
Evidemment, ce doit être un devoir à la maison où l'on prend le temps de chercher ...

[perplexus]

Merci, je ne l’ai pas précisé mais les étapes que vous m’avez explicité on été traitées en amont dans la partie 1 (exprimer $I_n$ et $I_{n+1}$, calculer $I_0$ et $I_1$).
J’ai fait le raisonnement de mon coté, et je trouve la même chose que vous à un détaille près :
$U_n=\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}\times \frac{\pi }{2}$
Je ne comprends pas pourquoi je vais revérifier.

[perplexus]

Finalement j’ai compris pourquoi, j’avais oublié de passer le $I_0$ de l’autre côté en divisant.

[mtschoon]

@perplexus, c'est bien si maintenant tu as vu ton erreur et que tout est clair.

Si les étapes sont explicitées, cela est un DM abordable !

J'étais fort surprise que l'énoncé te laisse te débrouiller seul en Terminale !