logarithme et exponnentielle
-
baraa skhairi dernière édition par
BONJOUR
In=intégrale de 0 a1 DE (1+x)e^-2x dx
Montrer que pour tout t dans IR on a ; t-t^2/2<ln(1+t)<t .
-
mtschoon dernière édition par mtschoon
@baraa-skhairi , bonjour,
Je ne vois pas le lien entre tes deux questions..;
Je regarde la première :
Si j'ai bien lu, tu veux calculer ∫01(1+x)e−2xdx\displaystyle \int_{0}^1 (1+x)e^{-2x}dx∫01(1+x)e−2xdx
Si c'est bien ça, tu fais une intégration par parties
U(x)=1+xU(x)=1+xU(x)=1+x
V′(x)=e−2xV'(x)=e^{-2x}V′(x)=e−2x
U′(x)=1U'(x)=1U′(x)=1
V(x)=−12e−2xV(x)=-\dfrac{1}{2}e^{-2x}V(x)=−21e−2xAprès calculs, tu dois trouver, sauf erreur,
∫01(1+x)e−2xdx=[(−x2−34)e−2x]01=34−54e−2\displaystyle \int_{0}^1 (1+x)e^{-2x}dx=\biggr[(-\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{4})e^{-2x}\biggr]_0^1=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{4}e^{-2}∫01(1+x)e−2xdx=[(−2x−43)e−2x]01=43−45e−2
Remarque : quelque chose ne va pas dans ta seconde question .
Tu indiques pour tout t de RRR , or ln(1+t)ln(1+t)ln(1+t) est définie pour 1+t>01+t\gt 01+t>0 c'est à dire t>−1t\gt -1t>−1
Revois ta question...
-
mtschoon dernière édition par
Re-bonjour, @baraa-skhairi
Tu es très discret sur les modifications de ton énoncé ..
Pour la seconde question, en travaillant sur R+R^+R+ , tu pourrais dire :
1−x<11+x<11-x\lt \dfrac{1}{1+x}\lt 11−x<1+x1<1 (justification simple)En intégrant
∫0t(1−x)dx<∫0t11+xdx<∫0t1dx\displaystyle \int_0^t (1-x)dx\lt \int_0^t\dfrac{1}{1+x}dx\lt \int_0^t1dx∫0t(1−x)dx<∫0t1+x1dx<∫0t1dx
[x−x22]0t<[ln(1+x)]0t<[x]0t\biggr[x-\dfrac{x^2}{2}\biggr]_0^t\lt \biggr[ln(1+x)\biggr]_0^t\lt \biggr[x\biggr]_0^t[x−2x2]0t<[ln(1+x)]0t<[x]0t
En faisant les calculs aux bornes, tu trouves la relation demandée.
-
Livindiam Livin dernière édition par
-
mtschoon dernière édition par
@Livindiam-Livin , bonsoir,
Pour être plus clair, ouvre un autre topic si tu as besoin.
